Какие значения могут иметь наибольшая и наименьшая высота сосны при заданных значениях параметров x=20,1 м и σ=5,1

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о нормальном распределении и стандартном отклонении. Давайте начнем с определения формулы для нормального распределения.

Нормальное распределение описывается функцией плотности вероятности (ФПВ) с параметрами μ (мю) и σ (сигма), где μ - математическое ожидание и σ - стандартное отклонение. Формула ФПВ имеет вид:

\[f(x) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi\sigma^2}}}e^{\frac{{-(x-μ)^2}}{{2\sigma^2}}}\]

В данной задаче параметры x и σ заданы и составляют соответственно 20,1 метра и 5,1 метра. Нам нужно найти значения наибольшей и наименьшей высоты сосны.

Для нахождения этих значений мы должны использовать формулы для нормального распределения. Наибольшая высота будет соответствовать верхнему «хвосту» Гауссова распределения, а наименьшая - нижнему «хвосту». Чтобы найти эти значения, мы должны рассчитать квантили соответствующих стандартных нормальных распределений.

Давайте начнем с нахождения наибольшей высоты. Мы хотим найти верхнюю квантиль, то есть значение, при котором нормальное распределение имеет заданную вероятность в правом «хвосте». Поскольку x = 20,1 м и σ = 5,1 м, мы можем использовать формулу для нахождения наивысшей высоты сосны.

Наибольшая высота определяется таким значением, при котором функция плотности вероятности равна или меньше заданного значения вероятности. В этой задаче мы будем искать 95-ю (0,95) процентную вероятность. Для этого нам понадобятся таблицы Стандартного нормального распределения или специальное программное обеспечение.

Используя таблицу или программное обеспечение, мы находим 95-й процентный квантиль стандартного нормального распределения, который составляет примерно 1,645. Затем мы можем использовать формулу обратной связи для нахождения наибольшей высоты.

\[x_{\text{max}} = μ + \sigma \cdot \text{квантиль}\]

Подставляя значения μ = 20,1 и σ = 5,1, мы получаем:

\[x_{\text{max}} = 20,1 + 5,1 \cdot 1,645\]

Теперь мы можем вычислить это значение:

\[x_{\text{max}} = 20,1 + 8,4095 = 28,5095\]

Таким образом, наибольшая высота сосны при заданных значениях параметров равна примерно 28,51 метра.

Теперь давайте найдем наименьшую высоту сосны. Мы можем использовать аналогичный подход, но на этот раз мы будем искать 5-ю (0,05) процентную вероятность. Снова используя таблицы или программное обеспечение, мы находим 5-й процентный квантиль, который равен примерно -1,645. Подставив значения в формулу, мы получаем:

\[x_{\text{min}} = 20,1 + 5,1 \cdot (-1,645)\]

Рассчитывая это значение, мы получаем:

\[x_{\text{min}} = 20,1 - 8,4095 = 11,6905\]

Таким образом, наименьшая высота сосны при заданных значениях параметров равна примерно 11,69 метра.

В результате наибольшая высота сосны составляет примерно 28,51 метра, а наименьшая высота - примерно 11,69 метра.