Докажите, что общее число пассажиров было не меньше 60, учитывая, что прогулочный катер совершил 40 рейсов за неделю

Давайте докажем, что общее число пассажиров было не меньше 60, используя информацию о прогулочном катере, который совершил 40 рейсов за неделю, на каждом рейсе было ровно 10 пассажиров, и любые двое из них были вместе не более чем на одном рейсе.

Для начала рассмотрим количество возможных пар пассажиров. У нас есть 40 рейсов, и на каждом рейсе находится 10 пассажиров. Возьмем произведение этих чисел:

\[40 \times 10 = 400\]

Таким образом, всего существует 400 пар пассажиров.

Теперь рассмотрим второе условие задачи: "любые двое из них были вместе не более чем на одном рейсе". Это означает, что никакие двое пассажиров не могли находиться вместе на более чем одном рейсе.

Давайте предположим, что общее число пассажиров меньше 60. Это означает, что общее количество пассажиров составляет меньше 60, скажем, \(N\). Тогда количество возможных пар пассажиров будет равно \(N \times (N-1)\).

Так как любые двое пассажиров были вместе не более чем на одном рейсе, количество возможных пар пассажиров не может превышать 400, так как именно столько пар пассажиров у нас есть.

Мы можем записать эту информацию в виде неравенства:

\[N \times (N-1) \leq 400\]

Теперь давайте решим это неравенство:

\[N \times (N-1) \leq 400\]

\[N^2 - N \leq 400\]

\[N^2 - N - 400 \leq 0\]

Используя квадратное уравнение, мы можем найти корни этого уравнения:

\[N = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = -400\).

Подставляя значения, получаем:

\[N = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-400)}}{2(1)}\]

\[N = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 1600}}{2}\]

\[N = \frac{1 \pm \sqrt{1601}}{2}\]

Очевидно, что данное квадратное уравнение не имеет вещественных корней, так как дискриминант \(1601\) является простым числом, и его квадратный корень не может быть выражен точно.

Это означает, что неравенство \(N^2 - N - 400 \leq 0\) не имеет решений.

Поскольку неравенство не имеет решений, предположение о том, что общее число пассажиров меньше 60, является ложным. Следовательно, общее число пассажиров было не меньше 60, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что общее число пассажиров было не меньше 60 на основе данных о количестве рейсов и пассажиров на рейсе, а также условии, что любые двое пассажиров были вместе не более чем на одном рейсе.