Какие значения M приводят к тому, что прямая с уравнением y=M пересекает график функции y=-2-(x^4-x^3)/(x^2-x) ровно

Чтобы найти значения M, при которых прямая y = M пересекает график функции y = -2 - \(\frac{x^4-x^3}{x^2-x}\) ровно в двух точках, мы должны решить уравнение, которое получается из пересечения данных линий.

Первым шагом нам нужно найти точки пересечения. Для этого мы приравниваем уравнения функции и прямой и решаем полученное уравнение:

-2 - \(\frac{x^4-x^3}{x^2-x}\) = M

Чтобы найти значения x, для которых это уравнение имеет два корня, мы воспользуемся фактом, что количество корней уравнения равно количеству перемен знака в уравнении. Используем числовой анализ для определения интервалов, где меняется знак уравнения.

Давайте вычислим пределы значений x при x -> +∞ и x -> -∞, чтобы определить, какие интервалы нам нужно исследовать:

\(\lim_{{x \to +\infty}} -2 - \frac{x^4-x^3}{x^2-x} = -2 - \lim_{{x \to +\infty}} \frac{x^4-x^3}{x^2-x} = -2 - \lim_{{x \to +\infty}} \frac{x^3(x-1)}{x(x-1)} = -2 - \lim_{{x \to +\infty}} \frac{x^3}{x} = -2 - \lim_{{x \to +\infty}}x^2\)

В данном случае видно, что предел уходит на бесконечность. То есть, при x -> +∞ функция стремится к бесконечности отрицательной стороны. Аналогично, при x -> -∞ функция также уходит на бесконечность отрицательной стороны.

Теперь мы знаем, что существует интервал, на котором функция y = -2 - \(\frac{x^4-x^3}{x^2-x}\) является непрерывной и монотонно возрастающей. Чтобы найти этот интервал, мы можем посмотреть на знаки производной функции:

\(f"(x) = \frac{-6x^3+2x^2}{(x-1)^2}\)

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:

-6x^3 + 2x^2 = 0

Из этого уравнения можно вынести общий множитель:

2x^2(-3x + 1) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 0 и x = 1.

Анализируя производную и знаки на интервалах (-∞, 0), (0, 1) и (1, +∞), мы видим, что функция возрастает на интервале (1, +∞).

Итак, наш исследуемый интервал - это (1, +∞) или числа больше 1. В этом интервале прямая y = M пересекает график функции ровно в двух точках для любого значения M.

Например, M = 2. Подстановка этого значения в исходное уравнение приведет к следующему:

-2 - \(\frac{x^4-x^3}{x^2-x}\) = 2

Решая это уравнение, мы найдем две точки пересечения прямой с графиком функции.

Таким образом, значения M, которые приводят к тому, что прямая с уравнением y = M пересекает график функции y = -2 - \(\frac{x^4-x^3}{x^2-x}\) ровно в двух точках, являются любыми значениями M больше 1.