Какие значения катетов прямоугольного треугольника могут обеспечить его наибольшую площадь, если сумма катетов равна

Чтобы найти значения катетов, обеспечивающие наибольшую площадь прямоугольного треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times катет1 \times катет2\]

Где \(катет1\) и \(катет2\) - длины катетов треугольника.

Давайте обозначим один катет как \(х\) и второй катет как \(22 - х\), так как сумма катетов равна 22 см. Затем мы можем записать формулу для площади треугольника в зависимости от \(х\):

\[S = \frac{1}{2} \times х \times (22 - х)\]

Чтобы найти значения катетов, при которых площадь максимальна, мы можем взять производную от этой площади и приравнять ее к нулю. Таким образом, мы найдем точку, где площадь достигает своего максимума. Давайте проделаем это:

\[\frac{{dS}}{{dx}} = \frac{{1}}{{2}} \times (22 - 2x)\]

Теперь приравняем это к нулю и решим уравнение:

\[\frac{{1}}{{2}} \times (22 - 2x) = 0\]

\[22 - 2x = 0\]

\[2x = 22\]

\[x = \frac{{22}}{{2}}\]

\[x = 11\]

Итак, один катет равен 11 см.

Чтобы найти длину второго катета, мы можем подставить значение \(х\) в \(22 - х\):

\(22 - 11 = 11\) см.

Таким образом, значения катетов для наибольшей площади прямоугольного треугольника при сумме катетов 22 см - 11 см и 11 см соответственно.

Теперь найдем максимальную площадь, подставив значения \(х\) и \(22 - х\) в формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times 11 \times 11\]

\[S = \frac{1}{2} \times 121\]

\[S = 60,5\]

Таким образом, максимальная площадь прямоугольного треугольника, когда сумма катетов равна 22 см, равна 60,5 квадратных сантиметров.