Какие значения имеют радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника АВС, если известно, что стороны АВ

Чтобы найти значения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, мы можем воспользоваться свойствами треугольника и тригонометрии.

Первым делом мы можем найти значение третьей стороны треугольника AC с помощью теоремы косинусов. Для этого мы должны использовать соотношение:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[AC^2 = 7^2 + 11^2 - 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cos(150^\circ)\]

Мы знаем, что \(\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:

\[AC^2 = 7^2 + 11^2 - 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

\[AC^2 = 49 + 121 + 77\sqrt{3}\]

\[AC^2 = 170 + 77\sqrt{3}\]

Далее, радиус вписанной окружности (r) связан с полупериметром треугольника (s) и его площадью (A) следующим образом:

\[A = rs\]

Можем вычислить полупериметр треугольника по формуле:

\[s = \frac{AB + BC + AC}{2}\]

Подставляя значения, получаем:

\[s = \frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2}\]

Теперь нам нужно вычислить площадь треугольника ABC. Мы можем использовать формулу Герона:

\[A = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)}\]

Подставляя значения, получаем:

\[A = \sqrt{\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 7\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 11\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}\right)}\]

Теперь у нас есть значение площади треугольника и полупериметра треугольника, поэтому мы можем вычислить радиус вписанной окружности, используя формулу \(r = \frac{A}{s}\).

\[r = \frac{\sqrt{\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 7\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 11\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}\right)}}{\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2}}\]

Следующим шагом является нахождение радиуса описанной окружности (R). Мы можем использовать следующую формулу, где \(a\), \(b\), и \(c\) являются сторонами треугольника:

\[R = \frac{abc}{4A}\]

Подставляя значения, получаем:

\[R = \frac{7 \cdot 11 \cdot \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{4 \cdot \sqrt{\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 7\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 11\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}\right)}}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности будет равен \(r = \frac{\sqrt{\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 7\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 11\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}\right)}}{\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2}}\), а радиус описанной окружности будет равен \(R = \frac{7 \cdot 11 \cdot \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{4 \cdot \sqrt{\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 7\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - 11\right) \cdot \left(\frac{7 + 11 + \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}}{2} - \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}\right)}}\).