Какие значения целых чисел (x; y) удовлетворяют уравнению x² - xy - 2y²

Хорошо, давайте решим данное уравнение с пошаговым обоснованием. Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом:

\[x^2 - xy - 2y^2 = 0\]

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод факторизации. Для начала, давайте постараемся выделить общий множитель.

Мы видим, что у нас есть \(x^2\) и \(xy\) в первых двух членах. Мы можем выделить общий множитель \(x\):

\[x(x - y) - 2y^2 = 0\]

Теперь нам нужно выделить общий множитель во втором члене изначального уравнения. У нас есть \(-2y^2\), поэтому мы можем выделить общий множитель \(-y^2\):

\[x(x - y) - 2y(y) = 0\]

Теперь у нас есть:

\[(x - y)(x - 2y) = 0\]

Теперь мы можем применить свойство нулевого произведения: если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Таким образом, у нас есть две возможности:

1. \(x - y = 0\)
2. \(x - 2y = 0\)

Решим первое уравнение:

\(x - y = 0\)

Добавим \(y\) к обеим сторонам:

\(x = y\)

Теперь решим второе уравнение:

\(x - 2y = 0\)

Добавим \(2y\) к обеим сторонам:

\(x = 2y\)

Таким образом, получаем два уравнения:

1. \(x = y\)
2. \(x = 2y\)

Теперь нам нужно найти целочисленные значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют данным уравнениям.

Рассмотрим первое уравнение, \(x = y\). Если мы подставим в уравнение \(x\) вместо \(y\), получим:

\(x = x\)

Таким образом, это уравнение верно для любого целого числа \(x\) и соответствующего ему значения \(y\).

Теперь рассмотрим второе уравнение, \(x = 2y\). Если мы подставим в уравнение \(x\) вместо \(2y\), получим:

\(2y = 2y\)

Таким образом, это уравнение также верно для любого целого числа \(y\), соответствующего ему значения \(x\) будет равно удвоенному значению \(y\).

Таким образом, уравнение \(x^2 - xy - 2y^2 = 0\) имеет бесконечное количество решений в целых числах, которые могут быть представлены в виде:

1. Для \(x = y\): \((x, x)\), где \(x\) - любое целое число.
2. Для \(x = 2y\): \((2y, y)\), где \(y\) - любое целое число.

Надеюсь, это решение ясно и понятно! Если остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.