Какие значения a удовлетворяют системе неравенств (a+7x+4)(a−2x+4)≤0 и a + 3x ≥ x^2, таким образом, что система имеет

Давайте решим данную систему неравенств пошагово.

Первое неравенство: (a+7x+4)(a−2x+4)≤0

Чтобы данное неравенство удовлетворяло условию, необходимо искать значения \(a\), при которых выражение \((a+7x+4)(a−2x+4)\) меньше или равно нулю.

Чтобы понять, какие значения \(a\) удовлетворяют данному условию, нужно найти корни квадратного трехчлена \(a^2 - (2x-3)x + (4x^2+4x+16)\). Для этого можно использовать формулу дискриминанта \(\sqrt{D}\), где \(D = b^2 - 4ac\) и в данном случае \(a = 1\), \(b = -(2x-3)\), \(c = 4x^2+4x+16\).

Если дискриминант \(D\) меньше нуля, то корней нет и \(a\) не может принимать такие значения, чтобы неравенство выполнялось.

Если дискриминант \(D\) равен нулю, то есть только один корень и само выражение равно нулю. В этом случае значения \(a\), при которых выражение равно нулю, удовлетворяют данному неравенству.

Если дискриминант \(D\) больше нуля, то есть два различных корня и выражение может быть положительным или отрицательным в зависимости от значений \(a\) и \(x\).

Итак, первое неравенство \(a^2 - (2x-3)x + (4x^2+4x+16)\leq0\) имеет решение только при значениях \(a\), при которых дискриминант \(D \geq 0\).

Теперь перейдем ко второму неравенству: \(a + 3x \geq x^2\)

Чтобы определить значения \(a\), удовлетворяющие данному неравенству, необходимо рассмотреть два случая:

1. Если \(x^2 - 3x + a \geq 0\), то неравенство всегда выполняется при любых значениях \(a\) и \(x\).

2. Если \(x^2 - 3x + a < 0\), то неравенство выполняется только при значениях \(a\), удовлетворяющих условию \(a \leq 3x - x^2\).

Итак, второе неравенство \(a + 3x \geq x^2\) имеет решение при значениях \(a\), удовлетворяющих условию \(a \leq 3x - x^2\).

Теперь объединим условия каждого неравенства, исходя из этого, чтобы система имела хотя бы одно решение.

1. Для первого неравенства: \(a^2 - (2x-3)x + (4x^2+4x+16) = 0\) или \(a^2 - (2x-3)x + (4x^2+4x+16) < 0\).

2. Для второго неравенства: \(a \leq 3x - x^2\).

Полученные условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, значения \(a\), удовлетворяющие данной системе неравенств и обеспечивающие хотя бы одно решение, можно найти, решив объединенные условия первого и второго неравенства. Решать данную систему можно различными методами, но наиболее эффективными будут метод графиков или метод подстановки.