Какие утверждения верны, а какие нет? Если утверждение верно, напишите Да , в противном случае приведите контрпример

Давайте по очереди рассмотрим каждое утверждение и проверим его верность:

а) Всегда ли третья степень целого числа больше самого числа?

Чтобы проверить данное утверждение, давайте рассмотрим пример. Пусть у нас будет число 2. Третья степень числа 2 будет равна \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\), а само число 2 равно 2. Очевидно, что число 8 получается больше числа 2, поэтому данное утверждение неверно. Контрпример: \(2^3\) = 8, что меньше самого числа 2. Таким образом, утверждение (а) неверно.

б) Всегда ли пятая степень любого положительного числа положительна?

В данном случае у нас нет ни одного контрпримера, так как основание возводится в положительную степень и по свойству степени всегда будет положительным числом. Поэтому ответ на утверждение (б) – "Да".

в) Если четвёртые степени двух чисел равны, то равны ли и сами числа?

Для проверки верности утверждения (в) рассмотрим пример. Пусть у нас есть два числа: 2 и -2. Четвёртая степень числа 2 равна \(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\), а четвёртая степень числа -2 равна \((-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16\). Обратите внимание, что и четвёртые степени чисел 2 и -2 равны между собой, но сами числа 2 и -2 различаются. Таким образом, контрпримером являются числа 2 и -2, и утверждение (в) неверно.

г) Всегда ли произведение нескольких двоек и нескольких восьмёрок можно представить в виде произведения нескольких четвёрок?

Для проверки данного утверждения рассмотрим пример. Пусть у нас есть по две двойки и восьмерки: 2, 2, 8, 8. Произведение этих чисел равно \(2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 8 = 256\). Мы видим, что произведение этих чисел не представимо в виде произведения нескольких четвёрок. Давайте попробуем другой пример: 2, 2, 2, 8, 8, 8. Произведение этих чисел равно \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 2048\). Мы видим, что произведение этих чисел также не представимо в виде произведения нескольких четвёрок. Вывод: не для всех произведений нескольких двоек и восьмерок можно найти такое представление. Таким образом, утверждение (г) неверно.

Итак, ответы на утверждения:

а) Неверно, существуют числа, для которых третья степень меньше самого числа.
б) Верно, пятая степень любого положительного числа всегда будет положительна.
в) Неверно, существуют числа, для которых четвёртые степени равны, но сами числа различны.
г) Неверно, не для всех произведений нескольких двоек и восьмерок можно найти такое представление.

Надеюсь, это помогло вам лучше понять эти математические утверждения.