Какие три натуральных числа следуют друг за другом так, чтобы разность квадрата второго числа и произведения первого

Решим данную задачу шаг за шагом.

Пусть первое натуральное число будет обозначено как \(a\), второе - как \(b\), а третье - как \(c\).

У нас есть два условия: разность квадрата второго числа и произведения первого и третьего чисел должна быть равна некой величине.

Первое условие: разность квадрата второго числа и произведения первого и третьего чисел. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[b^2 - a \cdot c = X\]

Где \(X\) - это заданное значение, которое мы должны найти.

Второе условие: числа следуют друг за другом. Это означает, что большее число следует непосредственно за меньшим числом. В нашем случае, мы имеем \(a < b < c\).

Теперь, чтобы найти подходящие числа, мы можем приступить к их поиску.

Давайте рассмотрим первое число \(a\). Мы можем выбрать любое натуральное число. Для простоты, давайте возьмем \(a = 1\).

Теперь перейдем ко второму числу \(b\). Подставим \(a = 1\) в уравнение и решим его относительно \(b\):

\[b^2 - 1 \cdot c = X\]

На данном этапе у нас есть два неизвестных: \(b\) и \(c\). Чтобы упростить задачу, давайте предположим, что \(X = 1\). Это даст нам простую систему уравнений:

\[b^2 - c = 1\]

Теперь приравняем \(b\) и \(c\) друг к другу:

\[b = c\]

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

\[b^2 - c = 1\]
\[b = c\]

Решим эту систему уравнений методом подстановки. Подставим значение \(b\) из второго уравнения в первое:

\[(c)^2 - c = 1\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[c^2 - c = 1\]

Теперь это уже квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду:

\[c^2 - c - 1 = 0\]

Это уравнение не имеет рациональных корней. Его корни можно найти с помощью формулы квадратного корня:

\[c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим коэффициенты:

\[c = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}\]

Упростим выражение:

\[c = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}\]
\[c = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]

Значит, \(c\) может быть или \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), или \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\).

Теперь подставим полученное значение \(c\) во второе уравнение и найдем значение \(b\):

\[b = c = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\] или \[b = c = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, получаем два набора чисел, которые удовлетворяют условию задачи:

1) \(a = 1\), \(b = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), \(c = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)

2) \(a = 1\), \(b = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\), \(c = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)

В обоих наборах первое число равно 1, а разность квадрата второго числа и произведения первого и третьего чисел равна 1. Это подтверждает, что эти наборы чисел удовлетворяют заданному условию.