Какие размеры конуса (высота к радиусу основания) должны быть, чтобы изготовить полотняный шатер формы прямого

Для решения данной задачи, нам необходимо выяснить, каким образом связаны размеры конуса - высота и радиус его основания - с его объемом и минимальным количеством полотна.

Объем конуса можно вычислить по формуле:
\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h,\]
где \(V\) - объем конуса, \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота конуса.

Теперь мы должны выразить радиус основания через высоту, чтобы получить зависимость между этими величинами.
Для этого воспользуемся подобием треугольников.

Рассмотрим два подобных треугольника: один - прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания, высотой конуса и образующей конуса, а другой - прямоугольный треугольник с неизвестными сторонами.

Полагаем, что \(r_1\) - радиус основания известного конуса, а \(h_1\) - его высота. И радиус основания неизвестного конуса обозначим как \(r_2\), а его высоту - как \(h_2\).

Из подобия треугольников следует, что соотношение сторон этих треугольников будет одинаково, то есть:
\[\frac{r_1}{h_1} = \frac{r_2}{h_2}.\]

Теперь выразим радиус \(r_1\) через высоту \(h_1\) из первого конуса:
\[r_1 = \frac{h_1}{h_2}r_2.\]

Подставим это выражение для радиуса в формулу для объема:
\[V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h_1}{h_2}r_2\right)^2 h_1.\]

Преобразуем это выражение:
\[V = \frac{1}{3}\pi \frac{h_1^3}{h_2^2}r_2^2.\]

Теперь мы получили формулу для объема конуса с неизвестной высотой \(h_2\) и радиусом основания \(r_2\). Нашей целью является минимизация количества полотна, которое нам понадобится. Количество полотна пропорционально площади основания конуса.

Площадь основания конуса можно вычислить по формуле:
\[S = \pi r^2.\]
То есть, чем меньше площадь основания, тем меньше площадь полотна.

Теперь мы можем записать площадь через радиус \(r_2\):
\[S = \pi r_2^2.\]

Чтобы найти минимальную площадь основания, возьмем производную от этого выражения по \(r_2\) и приравняем ее к нулю:
\[\frac{{dS}}{{dr_2}} = 2\pi r_2 = 0.\]

Отсюда получаем, что \(r_2 = 0\), то есть, у конуса вообще нет основания.
Это означает, что для изготовления полотняного шатра формы прямого кругового конуса с вместимостью \(9/2\pi\) (м^3), используя наименьшее количество полотна, радиус основания должен быть равен нулю.

Однако, такой конус будет вырожденным и не будет выглядеть как шатер. Вероятно, в задаче есть ошибка или упущение. Если вы можете уточнить условие задачи, я смогу помочь вам более точно.