Какие размеры должен иметь цилиндрический бак с объемом 65,536π, чтобы минимизировать количество материала

Чтобы решить эту задачу, мы должны найти размеры цилиндрического бака, которые минимизируют количество материала, необходимого для его изготовления. Пусть радиус основания бака будет \(r\) и высота бака будет \(h\).

Объем цилиндра можно найти по формуле:

\[
V = \pi r^2 h
\]

Из условия задачи дано, что объем бака равен \(65,536\pi\), поэтому мы можем записать уравнение:

\[
65,536\pi = \pi r^2 h
\]

Чтобы минимизировать количество материала, необходимого для изготовления бака, мы должны оптимизировать поверхность бака. Поверхность цилиндра состоит из двух частей: круглый основание и цилиндрическая боковая поверхность.

Площадь основания можно найти по формуле:

\[
S_{\text{основания}} = \pi r^2
\]

Боковая поверхность цилиндра можно найти по формуле:

\[
S_{\text{боковая}} = 2 \pi r h
\]

Тогда общая площадь поверхности цилиндра будет равна:

\[
S_{\text{поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковая}} = \pi r^2 + 2 \pi r h
\]

Теперь мы можем записать задачу оптимизации: необходимо минимизировать площадь поверхности цилиндра, при условии, что объем бака равен \(65,536\pi\). Подставим равенство объема в формулу для площади поверхности:

\[
S_{\text{поверхности}} = \pi r^2 + 2 \pi rh
\]

Заменим \(V\) на \(65,536\pi\):

\[
S_{\text{поверхности}} = \pi r^2 + 2 \pi rh = \pi r^2 + 2 \cdot 65,536\pi
\]

Теперь у нас есть функция, которую необходимо минимизировать. Для этого найдем производную \(S_{\text{поверхности}}\) по переменной \(r\):

\[
\frac{dS_{\text{поверхности}}}{dr} = 2 \pi r + 0 = 2 \pi r
\]

Чтобы найти экстремум функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
2 \pi r = 0 \implies r = 0
\]

Так как радиус не может быть равен нулю (это даст бесконечно малую площадь поверхности), мы исключаем это решение.

Теперь найдем производную \(S_{\text{поверхности}}\) по переменной \(h\):

\[
\frac{dS_{\text{поверхности}}}{dh} = 2 \pi r
\]

Опять приравниваем производную к нулю и решим уравнение:

\[
2 \pi rh = 0 \implies h = 0
\]

Аналогично радиусу, высота не может быть равна нулю.

Исходя из полученных результатов, мы понимаем, что ни за какие значения радиуса и высоты мы не достигнем значения минимальной площади поверхности цилиндра. Такое решение не имеет смысла с точки зрения практического применения.

Поэтому, ответ на задачу - минимальной площади поверхности цилиндрического бака с объемом \(65,536\pi\) не существует, так как ни одно значение размеров (радиуса и высоты) не даст минимальное количество материала для его изготовления.