При каких значениях параметра a корни уравнения x^3+ax^2+14x+8=0 образуют арифметическую прогрессию?

Чтобы найти значения параметра a, при которых корни уравнения образуют арифметическую прогрессию, мы будем использовать знания о свойствах арифметических прогрессий и теорему Виета.

Пусть корни уравнения x^3 + ax^2 + 14x + 8 = 0 образуют арифметическую прогрессию со знаменателем d. Тогда можно записать эти корни в виде x1, x1 + d и x1 + 2d.

Согласно теореме Виета, сумма корней должна быть равна нулю. То есть:

x1 + (x1 + d) + (x1 + 2d) = 0

Упрощая уравнение, получаем:

3x1 + 3d = 0

Теперь найдем сумму квадратов корней. Так как корни образуют арифметическую прогрессию, то:

x1^2 + (x1 + d)^2 + (x1 + 2d)^2 = 3(x1^2 + (x1 + d)^2 + (x1 + 2d)^2) = 0

Раскрывая скобки и сокращая, получаем:

3x1^2 + 6dx1 + 5d^2 = 0

Теперь мы можем составить систему уравнений:

3x1 + 3d = 0 (1)
3x1^2 + 6dx1 + 5d^2 = 0 (2)

Решим эту систему методом подстановки.

Из уравнения (1) выразим x1 через d:

x1 = -d

Подставим найденное значение x1 в уравнение (2):

3(-d)^2 + 6d(-d) + 5d^2 = 0

Упростим уравнение:

3d^2 - 6d^2 + 5d^2 = 0

2d^2 = 0

Единственное решение этого уравнения — d = 0.

Теперь найдем значения параметра a, при которых корни образуют арифметическую прогрессию. Для этого подставим найденное значение d = 0 в исходное уравнение:

x^3 + ax^2 + 14x + 8 = 0

Упростим уравнение:

x^3 + ax^2 + 14x + 8 = 0

x^3 + ax^2 + 14x + 8 = 0

Таким образом, при любых значениях параметра a корни этого уравнения будут образовывать арифметическую прогрессию с разностью d = 0.