Какие промежутки области возрастания и убывания для функции Y=x^3-8x^2+360?

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции \(y = x^3 - 8x^2 + 360\), вам потребуется вычислить её производную и найти точки, где производная равна нулю или не существует. Найденные точки разделят область возрастания и убывания функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\).

\[y = x^3 - 8x^2 + 360\]

Для нахождения производной функции возьмем производную от каждого члена по отдельности, используя правила дифференцирования:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d(x^3)}{dx} - \frac{d(8x^2)}{dx} + \frac{d(360)}{dx}\]

Дифференцируя каждый член, получим:

\[\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x\]

Шаг 2: Теперь, чтобы найти значения \(x\), при которых производная равна нулю или не существует, решим уравнение:

\[\frac{dy}{dx} = 0\]

\[3x^2 - 16x = 0\]

Шаг 3: Решим уравнение, факторизуя его:

\[x(3x - 16) = 0\]

Теперь у нас есть два возможных значения \(x\), при которых производная равна нулю:

\(x = 0\) или \(3x - 16 = 0\)

\(x = 0\) или \(3x = 16\)

\(x = 0\) или \(x = \frac{16}{3}\)

Шаг 4: Проверим значения производной на интервалах \(x < \frac{16}{3}\) и \(x > \frac{16}{3}\) с помощью тестовой точки. Выберите точку внутри каждого интервала и подставьте ее значение в \(\frac{dy}{dx}\).

Допустим, мы выбрали точки \(x = 1\) и \(x = 5\) для проверки.

При \(x = 1\):
\(\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 - 16(1) = -13\)

При \(x = 5\):
\(\frac{dy}{dx} = 3(5)^2 - 16(5) = 35\)

Шаг 5: Итак, имеем следующую информацию:

- В интервале \(-\infty < x < 0\) функция \(y\) убывает.
- В интервале \(0 < x < \frac{16}{3}\) функция \(y\) также убывает, так как значение производной \(\frac{dy}{dx}\) отрицательное.
- В интервале \(\frac{16}{3} < x < +\infty\) функция \(y\) возрастает, так как значение производной \(\frac{dy}{dx}\) положительное.

Шаг 6: Ответ на задачу:

Функция \(y = x^3 - 8x^2 + 360\) убывает на интервалах \(-\infty < x < 0\) и \(0 < x < \frac{16}{3}\), а возрастает на интервале \(\frac{16}{3} < x < +\infty\).