Какие пары прямых (отрезков) являются параллельными и приведите их доказательство? Задача

Чтобы определить, являются ли прямые параллельными, нужно проверить условие их параллельности: если две прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, то они параллельны. Угловой коэффициент прямой можно найти по формуле \(k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты двух точек на прямой.

Давайте рассмотрим две прямые: \(y = 2x + 5\) и \(y = 2x - 3\). Чтобы убедиться, что они параллельны, найдем их угловые коэффициенты.

Найдем угловой коэффициент первой прямой:
\[k_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[k_1 = \frac{{2 - 5}}{{1 - 0}} = \frac{{-3}}{{1}} = -3\]

Теперь найдем угловой коэффициент второй прямой:
\[k_2 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[k_2 = \frac{{2 - (-3)}}{{1 - 0}} = \frac{{5}}{{1}} = 5\]

Угловые коэффициенты прямых различаются (\(-3 \neq 5\)), поэтому эти две прямые не являются параллельными.

Теперь рассмотрим две новые прямые: \(y = 4x + 2\) и \(y = 4x - 10\). Проверим их угловые коэффициенты.

Для первой прямой:
\[k_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[k_1 = \frac{{2 - 10}}{{1 - 0}} = \frac{{-8}}{{1}} = -8\]

Для второй прямой:
\[k_2 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[k_2 = \frac{{-10 - 2}}{{1 - 0}} = \frac{{-12}}{{1}} = -12\]

Угловые коэффициенты прямых равны (\(-8 = -12\)), значит, эти две прямые параллельны.

Доказательство для параллельности прямых состоит в том, что они имеют одинаковый угловой коэффициент, что было продемонстрировано в данном примере. Когда угловой коэффициент равен, прямые имеют одинаковый наклон и никогда не пересекаются.