Какие параметры колебаний можно определить по уравнению движения колебающейся точки x=0,05 cos(2п/3)? Какое уравнение

Уравнение движения колеблющейся точки \(x(t) = 0.05 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}t)\) задает закон изменения координаты \(x\) точки в зависимости от времени \(t\).

Чтобы определить параметры колебаний, обратимся к уравнению \(x(t)\). В данном случае, амплитуда колебаний \(A = 0.05\), а частота колебаний определяется коэффициентом перед \(t\) внутри функции косинуса. В данном случае, частота колебаний \(\omega = \frac{2\pi}{3}\).

Зависимость скорости колеблющейся точки от времени можно найти, взяв производную от уравнения \(x(t)\) по времени. Производная от функции косинуса равна минус синусу, а производная от \(t\) равна 1. Таким образом, уравнение зависимости скорости \(v(t)\) от времени будет:

\[v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}t)\]

Теперь, чтобы найти смещение, скорость и ускорение точки через 1 и 3 секунды от начала колебаний, подставим соответствующие значения времени \(t\) в уравнения \(x(t)\), \(v(t)\) и найдем производную от \(v(t)\), чтобы получить ускорение \(a(t)\).

Для \(t = 1\) секунда:
- Смещение точки \(x(1) = 0.05 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3} \cdot 1) = 0.05 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}) \approx -0.025\) (округлено до трех знаков после запятой).
- Скорость точки \(v(1) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \sin(\frac{2\pi}{3} \cdot 1) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}) \approx -0.025\pi\) (округлено до трех знаков после запятой).
- Ускорение точки \(a(1) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \cos(\frac{2\pi}{3} \cdot 1) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}) \approx 0.0433\) (округлено до четырех знаков после запятой).

Аналогично, для \(t = 3\) секунды:
- Смещение точки \(x(3) = 0.05 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3} \cdot 3) = 0.05 \cdot \cos(\frac{6\pi}{3}) = 0.05 \cdot \cos(2\pi) = 0.05\) (смотрите пояснение ниже).
- Скорость точки \(v(3) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \sin(\frac{2\pi}{3} \cdot 3) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \sin(\frac{6\pi}{3}) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \sin(2\pi) = 0\) (смотрите пояснение ниже).
- Ускорение точки \(a(3) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \cos(\frac{2\pi}{3} \cdot 3) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \cos(\frac{6\pi}{3}) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \cos(2\pi) = -0.05\) (смотрите пояснение ниже).

Важно заметить, что при \(t = 3\) секунды мы получили смещение и ускорение, равные амплитуде колебаний. Это происходит из-за того, что функция косинуса имеет период \(2\pi\). Когда мы переходим от одного полного колебания к другому, смещение и ускорение принимают те же значения. Это называется гармоническими колебаниями. Для упрощения расчетов, мы использовали тот факт, что \(\cos(2\pi) = 1\) и \(\sin(2\pi) = 0\).

Таким образом, параметры колебаний, которые можно определить по данному уравнению движения, включают амплитуду \(A = 0.05\) и частоту \(\omega = \frac{2\pi}{3}\). Зависимость скорости колеблющейся точки от времени задается уравнением \(v(t) = -0.05 \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}t)\). Смещение, скорость и ускорение точки в моменты времени 1 и 3 секунды от начала колебаний будут, соответственно:

Для \(t = 1\) секунда:
- Смещение точки \(x(1) \approx -0.025\)
- Скорость точки \(v(1) \approx -0.025\pi\)
- Ускорение точки \(a(1) \approx 0.0433\)

Для \(t = 3\) секунды:
- Смещение точки \(x(3) = 0.05\)
- Скорость точки \(v(3) = 0\)
- Ускорение точки \(a(3) = -0.05\)