Какие натуральные значения n могут быть, при которых десятичная запись дроби 1/n имеет периодическую десятичную запись

Данная задача связана с десятичной записью дробей и алгеброй. Чтобы определить набор натуральных значений \(n\), для которых десятичная запись дроби \(\frac{1}{n}\) имеет периодическую запись без предпериода и минимальный период равен \(p\), необходимо провести детальный анализ.

Рассмотрим, как образуется периодическая десятичная запись для дробей. Когда дробь \(\frac{1}{n}\) преобразуется в десятичное число, результат деления может быть:
- Целым числом: в этом случае получаем конечную десятичную запись без периода (например, \(\frac{1}{2}\) равно 0.5).
- Десятичной дробью с ограниченным набором цифр после запятой: в этом случае периодическая часть всегда будет предшествовать после запятой набором цифр, которые не повторяются (например, \(\frac{1}{3}\) равно 0.333...).
- Десятичной дробью с периодической записью: здесь у нас есть периодическая часть числа, которая повторяется бесконечно (например, \(\frac{1}{6}\) равно 0.1666...).

Теперь рассмотрим случай периодической десятичной записи без предпериода. В таком случае, все цифры после запятой должны быть периодическими (то есть повторяющимися). Для определения набора значений \(n\) с периодом десятичной записи дроби, равным \(p\), необходимо учесть следующее:

1. Периодическая часть числа \(\frac{1}{n}\) должна быть равна \(\frac{1}{n}\), так как мы рассматриваем периодическую запись без предпериода.
2. Периодичность определяется числом цифр в периоде. Пусть \(d\) - количество цифр в периоде.
3. Используя деление с остатком, дробь \(\frac{1}{n}\) можно представить как

\[
\frac{1}{n} = 0.\overline{a_1a_2...a_d}
\]

где \(a_1a_2...a_d\) - периодическая часть с цифрами после запятой.

4. Умножим обе части на \(10^d\) для перемещения периода в целую часть:

\[
\frac{10^d}{n} = a_1a_2...a_d.\overline{a_1a_2...a_d}
\]

5. Вычитая из левой и правой частей этого равенства дробь \(\frac{1}{n}\), получаем:

\[
\frac{10^d}{n} - \frac{1}{n} = a_1a_2...a_d
\]

6. Упрощая выражение, получаем:

\[
\frac{10^d - 1}{n} = a_1a_2...a_d
\]

7. Чтобы быть периодическим числом без предпериода, числитель (\(10^d - 1\)) должен делиться на \(n\).

Таким образом, мы приходим к следующим требованиям для значений \(n\):

1. Числитель \(10^d - 1\) должен быть делителем \(n\).
2. Минимальный период (\(p\)) равен числу цифр в периоде (\(d\)).

Теперь давайте проанализируем примеры, чтобы увидеть, как это работает на практике.

1. Какой минимальный период (\(p\)) у дроби \(\frac{1}{7}\)? Найдем количество цифр в периоде (т.е. длину периода).

\[
\frac{10^d - 1}{7}
\]

Начнем со значения \(d = 1\) и будем увеличивать его, пока числитель \(10^d - 1\) не будет делиться на 7.

При \(d = 1\) мы получим \(\frac{10 - 1}{7} = 1.285714\), где \(1\) - периодическая часть числа длиной в 1 цифру.

При \(d = 2\) получим \(\frac{100 - 1}{7} = 14.285714\), где \(14\) - периодическая часть числа длиной в 2 цифры.

При \(d = 3\) получим \(\frac{1000 - 1}{7} = 142.857142\), где \(142\) - периодическая часть числа длиной в 3 цифры.

Как видим, периодическая часть числа длиной в 6 цифр повторяется, а значит, минимальный период дроби \(\frac{1}{7}\) равен 6.

2. Давайте найдем значения \(n\) для которых минимальный период равен 4.

Чтобы \(10^d - 1\) было делителем \(n\), число \(10^d - 1\) должно быть кратно 4. Рассмотрим это на примерах:

При \(d = 1\) имеем \(10^1 - 1 = 9\). 9 не делится на 4, переходим дальше.

При \(d = 2\) получим \(10^2 - 1 = 99\). 99 не делится на 4.

При \(d = 3\) получим \(10^3 - 1 = 999\). 999 не делится на 4.

При \(d = 4\) получим \(10^4 - 1 = 9999\). 9999 делится на 4 (можно проверить, что 9999 = 4 * 2499).

Таким образом, для значения \(n\) равного 9999, минимальный период будет равен 4.

Этот метод можно применить для поиска значений \(n\) исходя из требуемого минимального периода.

Таким образом, чтобы найти значения \(n\), при которых десятичная запись дроби \(\frac{1}{n}\) имеет периодическую десятичную запись без предпериода, а минимальный период равен \(p\), вам нужно найти значения \(n\), для которых число \(10^p - 1\) будет делителем \(n\).