Какие натуральные значения n могут быть, при которых десятичная запись дроби 1/n имеет периодическую десятичную запись

Данная задача связана с десятичной записью дробей и алгеброй. Чтобы определить набор натуральных значений $n$, для которых десятичная запись дроби $\frac{1}{n}$ имеет периодическую запись без предпериода и минимальный период равен $p$, необходимо провести детальный анализ.

Рассмотрим, как образуется периодическая десятичная запись для дробей. Когда дробь $\frac{1}{n}$ преобразуется в десятичное число, результат деления может быть:
- Целым числом: в этом случае получаем конечную десятичную запись без периода (например, $\frac{1}{2}$ равно 0.5).
- Десятичной дробью с ограниченным набором цифр после запятой: в этом случае периодическая часть всегда будет предшествовать после запятой набором цифр, которые не повторяются (например, $\frac{1}{3}$ равно 0.333...).
- Десятичной дробью с периодической записью: здесь у нас есть периодическая часть числа, которая повторяется бесконечно (например, $\frac{1}{6}$ равно 0.1666...).

Теперь рассмотрим случай периодической десятичной записи без предпериода. В таком случае, все цифры после запятой должны быть периодическими (то есть повторяющимися). Для определения набора значений $n$ с периодом десятичной записи дроби, равным $p$, необходимо учесть следующее:

1. Периодическая часть числа $\frac{1}{n}$ должна быть равна $\frac{1}{n}$, так как мы рассматриваем периодическую запись без предпериода.
2. Периодичность определяется числом цифр в периоде. Пусть $d$ - количество цифр в периоде.
3. Используя деление с остатком, дробь $\frac{1}{n}$ можно представить как

$$\frac{1}{n}=0.\overline{a_1{a}_2...a_d}$$

где $a_1{a}_2...a_d$ - периодическая часть с цифрами после запятой.

4. Умножим обе части на ${10}^d$ для перемещения периода в целую часть:

$$\frac{{10}^d}{n}=a_1{a}_2...a_d.\overline{a_1{a}_2...a_d}$$

5. Вычитая из левой и правой частей этого равенства дробь $\frac{1}{n}$, получаем:

$$\frac{{10}^d}{n}-\frac{1}{n}=a_1{a}_2...a_d$$

6. Упрощая выражение, получаем:

$$\frac{{10}^d-1}{n}=a_1{a}_2...a_d$$

7. Чтобы быть периодическим числом без предпериода, числитель (${10}^d-1$) должен делиться на $n$.

Таким образом, мы приходим к следующим требованиям для значений $n$:

1. Числитель ${10}^d-1$ должен быть делителем $n$.
2. Минимальный период ($p$) равен числу цифр в периоде ($d$).

Теперь давайте проанализируем примеры, чтобы увидеть, как это работает на практике.

1. Какой минимальный период ($p$) у дроби $\frac{1}{7}$? Найдем количество цифр в периоде (т.е. длину периода).

$$\frac{{10}^d-1}{7}$$

Начнем со значения $d=1$ и будем увеличивать его, пока числитель ${10}^d-1$ не будет делиться на 7.

При $d=1$ мы получим $\frac{10-1}{7}=1.285714$, где $1$ - периодическая часть числа длиной в 1 цифру.

При $d=2$ получим $\frac{100-1}{7}=14.285714$, где $14$ - периодическая часть числа длиной в 2 цифры.

При $d=3$ получим $\frac{1000-1}{7}=142.857142$, где $142$ - периодическая часть числа длиной в 3 цифры.

Как видим, периодическая часть числа длиной в 6 цифр повторяется, а значит, минимальный период дроби $\frac{1}{7}$ равен 6.

2. Давайте найдем значения $n$ для которых минимальный период равен 4.

Чтобы ${10}^d-1$ было делителем $n$, число ${10}^d-1$ должно быть кратно 4. Рассмотрим это на примерах:

При $d=1$ имеем ${10}^1-1=9$. 9 не делится на 4, переходим дальше.

При $d=2$ получим ${10}^2-1=99$. 99 не делится на 4.

При $d=3$ получим ${10}^3-1=999$. 999 не делится на 4.

При $d=4$ получим ${10}^4-1=9999$. 9999 делится на 4 (можно проверить, что 9999 = 4 * 2499).

Таким образом, для значения $n$ равного 9999, минимальный период будет равен 4.

Этот метод можно применить для поиска значений $n$ исходя из требуемого минимального периода.

Таким образом, чтобы найти значения $n$, при которых десятичная запись дроби $\frac{1}{n}$ имеет периодическую десятичную запись без предпериода, а минимальный период равен $p$, вам нужно найти значения $n$, для которых число ${10}^p-1$ будет делителем $n$.