Какие натуральные значения n делают выражение n^4-2n^3+23n^2-22n+16 полным квадратом?

Чтобы узнать, какие натуральные значения \( n \) делают выражение \( n^4-2n^3+23n^2-22n+16 \) полным квадратом, нам нужно рассмотреть выражение в виде полного квадрата. Полный квадрат имеет общий вид \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Давайте преобразуем данное выражение в полный квадрат. Обратим внимание, что \( n^4-2n^3+n^2 \) можно записать как \( (n^2 - n)^2 \). Теперь раскроем скобки:

\[ n^4 - 2n^3 + n^2 = (n^2 - n)^2 \]

Теперь выразим оставшиеся члены выражения \( n^4-2n^3+23n^2-22n+16 \) через \( (n^2 - n)^2 \). Мы видим, что \( 23n^2 \) можно выразить как \( 22n^2 + n^2 \) и \( -22n \) как \( -22n \).

Получаем:

\[ n^4 - 2n^3 + 23n^2 - 22n + 16 = (n^2 - n)^2 + 22n^2 - 22n + 16 \]

Теперь наша задача сводится к тому, чтобы найти значения \( n \), при которых \( 22n^2 - 22n + 16 \) также является полным квадратом. Чтобы это произошло, коэффициент при \( n \) должен быть равен удвоенному произведению корней полного квадрата.

Поэтому в данном случае у нас есть \( 2ab = -22 \), где \( a \) и \( b \) - это корни полного квадрата \( (n^2 - n)^2 \). Найдем эти корни:

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0}}{2 \cdot 1} \]

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1}}{2} \]

\[ n = \frac{1 \pm 1}{2} \]

Итак, \( n = 1 \) или \( n = 0 \). Мы нашли два натуральных значения \( n \), которые делают данное выражение полным квадратом: \( n = 1 \) и \( n = 0 \).