Какие координаты вершины параболы, если угол между осью симметрии и хордой, проведенной через вершину, равен

Чтобы найти координаты вершины параболы, которая имеет ось симметрии и хорду через вершину под углом 45 градусов, нужно знать уравнение параболы в общем виде и использовать некоторые свойства параболы.

Общее уравнение параболы имеет форму \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a \), \( b \) и \( c \) - коэффициенты, а \( x \) и \( y \) - переменные.

Ось симметрии параболы является вертикальной линией, проходящей через вершину параболы. Пусть вершина имеет координаты \( (h, k) \), тогда уравнение оси симметрии можно записать в виде \( x = h \).

Когда хорда проведена через вершину, она делит ось симметрии пополам. Таким образом, точка пересечения хорды и оси симметрии имеет координаты \( (h, 0) \).

Нам также известно, что угол между осью симметрии и хордой равен 45 градусам.

Чтобы решить задачу, воспользуемся свойством параболы, которое гласит, что хорды, параллельные оси симметрии, имеют одинаковую длину.

Изобразим параболу и нарисуем на ней ось симметрии, хорду через вершину и точку пересечения хорды и оси симметрии.

\[
\begin{array}{l}
\cdot \\
\cdot \\
\cdot \\
\cdot \\
\cdot
\end{array}
\]

Так как хорда делит ось симметрии пополам, то противоположные отрезки хорды равны между собой. Обозначим длину половины хорды как \( d \).

Теперь посмотрим на прямоугольный треугольник, образованный половиной хорды и отрезком, соединяющим точку пересечения хорды и оси симметрии с вершиной параболы. Угол между осью симметрии и этим отрезком также равен 45 градусам.

\[
\begin{array}{l}
\cdot \\
\cdot \\
\cdot \\
\cdot \\
\cdot
\end{array}
\]

Таким образом, мы получили прямоугольный треугольник со сторонами \( d \), \( d \) и \( k \).

Используя тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника, можем записать:

\[
\tan(45^\circ) = \frac{d}{k}
\]

Так как \(\tan(45^\circ) = 1\), получим:

\[
1 = \frac{d}{k} \Rightarrow d = k
\]

Итак, мы получили, что длина половины хорды равняется высоте параболы, то есть \( d = k \).

Теперь вернемся в уравнение параболы в общем виде \( y = ax^2 + bx + c \) и подставим вместо \( y \) и \( x \) \( d \), \( h \) соответственно. Получим:

\[
d = ah^2 + bh + c
\]

Так как \( d = k \), можем записать:

\[
k = ah^2 + bh + c \quad \quad \quad (1)
\]

Но мы также знаем, что точка пересечения хорды и оси симметрии имеет координаты \( (h, 0) \). Подставим \(x = h\) и \(y = 0\) в уравнение параболы:

\[
0 = ah^2 + bh + c \quad \quad \quad (2)
\]

Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2), и нам нужно решить их относительно \(h\), \(k\), \(a\), \(b\) и \(c\).

Для этого можно воспользоваться методом решения системы уравнений или методом подстановки.

В результате решения этих уравнений мы найдем значения \(h\) и \(k\), которые являются координатами вершины параболы.