Какие координаты имеет точка, когда точка А(1; 0) поворачивается на угол α=−π2+5π? Обведите верный вариант/варианты

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрию и геометрию.

Когда точка \(А(1; 0)\) поворачивается на угол \(\alpha = -\frac{\pi}{2}+5\pi\), мы можем найти новые координаты точки, используя формулы поворота вокруг начала координат.

Формулы поворота вокруг начала координат:

\(x" = x \cdot \cos(\alpha) - y \cdot \sin(\alpha)\)

\(y" = x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha)\)

Подставим значения \(x = 1\), \(y = 0\) и \(\alpha = -\frac{\pi}{2}+5\pi\) в эти формулы:

\(x" = 1 \cdot \cos(-\frac{\pi}{2}+5\pi) - 0 \cdot \sin(-\frac{\pi}{2}+5\pi)\)

\(y" = 1 \cdot \sin(-\frac{\pi}{2}+5\pi) + 0 \cdot \cos(-\frac{\pi}{2}+5\pi)\)

Упростим эти выражения:

\(x" = \cos(-\frac{\pi}{2}+5\pi)\)

\(y" = \sin(-\frac{\pi}{2}+5\pi)\)

Теперь нам нужно вычислить значения синуса и косинуса угла \(-\frac{\pi}{2}+5\pi\).

Синус и косинус имеют период \(2\pi\), что означает, что они возвращаются к своим начальным значениям после каждых \(2\pi\) радиан.

Разложим угол \(-\frac{\pi}{2}+5\pi\) на количество полных оборотов и остаток внутри одного оборота:

\(-\frac{\pi}{2}+5\pi = 8\pi - \frac{\pi}{2}\)

Так как значение \(-\frac{\pi}{2}\) соответствует точке \((0; -1)\) на графике синуса и косинуса, мы можем использовать это значение для нахождения новых координат точки.

Подставим значение \(-\frac{\pi}{2}\) вместо \(\alpha\) в формулы поворота:

\(x" = \cos(-\frac{\pi}{2}) - 0 \cdot \sin(-\frac{\pi}{2})\)

\(y" = 1 \cdot \sin(-\frac{\pi}{2}) + 0 \cdot \cos(-\frac{\pi}{2})\)

Упростим эти выражения:

\(x" = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0\)

\(y" = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1\)

Таким образом, координаты точки после поворота на угол \(\alpha = -\frac{\pi}{2}+5\pi\) будут \(x" = 0\) и \(y" = -1\).

Таким образом, верным вариантом будет вариант 3. \((-1; 0)\).