Какие композиции функций f(x) и g(x) можно составить, и каковы их области определения и множества значений?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся, что такое композиция функций. Композиция функций - это когда одну функцию подставляем вместо переменной в другую функцию.

Пусть у нас есть две функции f(x) и g(x). Область определения функции f(x) обозначим как Df, а область определения функции g(x) - как Dg. Множество значений функции f(x) обозначим как Rf, а множество значений функции g(x) - как Rg.

Теперь, чтобы составить композицию функций, мы должны удостовериться, что область значений функции g(x) полностью содержится в области определения функции f(x). То есть Rg ⊆ Df.

Когда это условие выполняется, мы можем выполнить композицию функций, обозначим ее как h(x) = f(g(x)). Область определения функции h(x) будет совпадать с областью определения функции g(x), то есть Dh = Dg. А множество значений функции h(x) будет совпадать с множеством значений функции f(x), то есть Rh = Rf.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров конкретных функций и вычислим их области определения и множества значений.

1) Пример 1:
f(x) = √x
g(x) = 2x - 3

Область определения f(x) - это все неотрицательные числа, то есть Df = [0, +∞).
Область определения g(x) - это вся числовая прямая, так как g(x) определена для любого x.
Мы видим, что область значений g(x) = (-∞, +∞), что полностью содержится в области определения f(x).

Таким образом, мы можем составить композицию функций h(x) = f(g(x)), где
Dh = Dg = (-∞, +∞),
Rh = Rf = [0, +∞).

2) Пример 2:
f(x) = sin(x)
g(x) = x^2 - 4

Область определения f(x) - это всё вещественное число, то есть Df = (-∞, +∞).
Область определения g(x) - это все вещественные числа, так как g(x) определена для любого x.
Мы замечаем, что область значений g(x) также является всем вещественным числам.

В этом случае, область значений g(x) полностью содержится в области определения f(x), поэтому мы можем выполнить композицию функций h(x) = f(g(x)), где
Dh = Dg = (-∞, +∞),
Rh = Rf = (-1, 1).

Таким образом, мы можем составить различные композиции функций, учитывая их области определения и множества значений. Каждый конкретный случай будет иметь свои уникальные значения, поэтому важно тщательно анализировать обе функции, прежде чем составить композицию.