Какие из следующих утверждений верны для окружности, описанной около треугольника ABC, где M, P и K - середины сторон?

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и докажем или опровергнем его.

1) Является ли OP перпендикулярной BC?

Для ответа на этот вопрос, давайте вспомним свойство окружностей, описанных около треугольников. Если треугольник ABC описан вокруг окружности, то радиус этой окружности проходит через середину каждой стороны треугольника.

Таким образом, точка O является серединой стороны BC треугольника ABC. Вспомним также, что перпендикулярные линии имеют свойство, что их угловые коэффициенты обратно пропорциональны. Обратно пропорциональными являются только прямые линии, проходящие через начало координат.

Таким образом, если OP является радиусом окружности, описанной около треугольника ABC, и точка M - середина стороны AB, то нельзя сказать, что OP перпендикулярна BC. Утверждение 1 неверно.

2) Равны ли длины OM, OK и OP?

Если точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC, и точки M, K - середины сторон AB и AC соответственно, то можно сказать, что все три отрезка OM, OK и OP равны между собой.

Утверждение 2 верно.

3) Равны ли угол CBO и угол ABO?

Для ответа на этот вопрос, давайте рассмотрим свойства треугольников, описанных около окружностей. Если треугольник ABC описан вокруг окружности, то углы, образованные его сторонами и хордой, равны половине центрального угла, образованного этими сторонами.

Исходя из этого свойства, можно сказать, что угол CBO и угол ABO равны половине центрального угла между сторонами BC и BA треугольника ABC.

Утверждение 3 неверно.

4) Равны ли длины AO, OB?

Если точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC, то расстояния от центра окружности до вершин треугольника (AO, BO, CO) являются радиусами этой окружности. Радиусы окружности, описанной около треугольника ABC, обычно равны.

Таким образом, можно сказать, что длины AO и OB равны.

Утверждение 4 верно.

Итак, результаты нашего анализа:
- Утверждение 1 неверно.
- Утверждение 2 верно.
- Утверждение 3 неверно.
- Утверждение 4 верно.