Какие из представленных групп функций являются замкнутыми классами: 1) Линейные функции; 2) Функции с монотонным

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим каждую группу функций по отдельности и определим, является ли она замкнутым классом или нет.

1) Линейные функции: Линейные функции имеют вид \(f(x) = kx + b\), где \(k\) и \(b\) - константы. Легко заметить, что сумма или разность двух линейных функций также будет линейной функцией. Таким образом, линейные функции являются замкнутым классом.

2) Функции с монотонным поведением: Функции с монотонным поведением также являются замкнутым классом. Если функция \(f(x)\) обладает свойством монотонности, то и её композиция с другой монотонной функцией \(g(x)\) будет иметь монотонное поведение.

3) Функции, сохраняющие значение нуля: Функции, которые сохраняют значение нуля, это функции, для которых выполняется условие \(f(0) = 0\). Такие функции являются замкнутым классом, так как их сумма, разность и композиция также будут сохранять значение нуля.

4) Функции, сохраняющие и значение нуля, и значение единицы: Функции, которые сохраняют и значение нуля, и значение единицы, это функции, для которых выполняются условия \(f(0) = 0\) и \(f(1) = 1\). Несложно заметить, что только тождественная функция \(f(x) = x\) удовлетворяет этим условиям. Поэтому группа функций, сохраняющих и значение нуля, и значение единицы, не является замкнутым классом.

5) Функции от одной переменной: Функции от одной переменной являются замкнутым классом. Это означает, что сумма, разность и композиция двух функций от одной переменной также будет функцией от одной переменной.

6) Функции самодвойственные: Функции самодвойственные - это функции, которые удовлетворяют условию \(f(f(x)) = x\). Например, функция \(f(x) = \neg x\) является самодвойственной. Однако, не все функции относительно этого свойства формируют замкнутый класс.

7) Функции с монотонным убыванием: Функции с монотонным убыванием также являются замкнутым классом. Если функция \(f(x)\) обладает свойством монотонного убывания, то и её композиция с другой монотонной функцией \(g(x)\) будет иметь монотонное убывание.

8) Функции, сохраняющие значение единицы: Функции, которые сохраняют значение единицы, это функции, для которых выполняется условие \(f(1) = 1\). Такие функции являются замкнутым классом, так как их сумма, разность и композиция также будут сохранять значение единицы.

9) Функции, сохраняющие значение нуля, но не сохраняющие значение единицы: Функции, которые сохраняют значение нуля, но не сохраняют значение единицы, не формируют замкнутый класс, так как сумма или разность двух таких функций может не сохранять значение нуля.

10) Функции от двух переменных: Функции от двух переменных также являются замкнутым классом. Аналогично функциям от одной переменной, их сумма, разность и композиция также будут функциями от двух переменных.

Таким образом, из приведенных групп функций, замкнутыми классами являются: линейные функции, функции с монотонным поведением, функции, сохраняющие значение нуля, функции от одной переменной, функции с монотонным убыванием и функции, сохраняющие значение единицы.