Какие из этих множеств являются подпространствами в линейном пространстве?

Чтобы определить, какие из данных множеств являются подпространствами в линейном пространстве, необходимо проверить выполнение трех условий: замкнутости относительно сложения, замкнутости относительно умножения на скаляр и наличие нулевого вектора. Давайте рассмотрим каждое множество по очереди:

1. Множество всех векторов в трехмерном пространстве, лежащих на одной прямой.

Здесь необходимо проверить, что данное множество удовлетворяет всем трем условиям.

- Замкнутость относительно сложения: возьмем два произвольных вектора \(u\) и \(v\) из этого множества. Если они лежат на одной прямой, то сумма \(u + v\) также будет лежать на этой прямой. Таким образом, данное множество замкнуто относительно сложения.

- Замкнутость относительно умножения на скаляр: возьмем произвольный вектор \(u\) из этого множества и скаляр \(c\). Умножение вектора \(u\) на скаляр \(c\) дает новый вектор, лежащий на той же прямой. Поэтому, данное множество также замкнуто относительно умножения на скаляр.

- Наличие нулевого вектора: нулевой вектор также лежит на данной прямой, и поэтому это условие также выполняется.

Итак, данное множество является подпространством в линейном пространстве.

2. Множество всех квадратных матриц размера \(n \times n\), в которых сумма элементов каждого столбца равна нулю.

- Здесь условие замкнутости относительно сложения выполняется, так как сумма двух матриц с нулевой суммой элементов каждого столбца также будет иметь нулевую сумму элементов каждого столбца.

- Однако, условие замкнутости относительно умножения на скаляр не выполняется. Возьмем произвольную матрицу из этого множества и умножим ее на ненулевой скаляр. Сумма элементов каждого столбца изменится, и поэтому данное множество не является замкнутым относительно умножения на скаляр.

Итак, данное множество не является подпространством в линейном пространстве.

3. Множество всех квадратных матриц размера \(n \times n\), у которых определитель равен нулю.

- Здесь условие замкнутости относительно сложения выполняется, так как сумма двух матриц с нулевым определителем также будет иметь нулевой определитель.

- Условие замкнутости относительно умножения на скаляр также выполняется, так как умножение матрицы с нулевым определителем на скаляр также дает матрицу с нулевым определителем.

- И, наконец, нулевая матрица также имеет нулевой определитель, и поэтому данное множество удовлетворяет условию наличия нулевого вектора.

Итак, данное множество является подпространством в линейном пространстве.

Таким образом, первое и третье множества являются подпространствами в линейном пространстве, а второе множество не является подпространством.