Какие интервалы монотонности и экстремумы можно определить для функции f(x)=1/3x^3+3/2x^2-4x+2?

Для определения интервалов монотонности и экстремумов функции f(x) = \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 4x + 2\), нам необходимо найти её производную и решить соответствующие неравенства.

1. Начнем с нахождения производной функции f"(x).

f"(x) = (1/3) * 3x^2 + (3/2) * 2x - 4 = x^2 + 3x - 4

2. Теперь решим уравнение f"(x) = 0, чтобы найти критические точки/экстремумы функции.

x^2 + 3x - 4 = 0

Мы можем решить это уравнение по формуле дискриминанта или разложением на множители. Воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 25

Так как дискриминант D больше нуля, то у уравнения есть два корня:

x1 = \(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1\)

x2 = \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4\)

Таким образом, уравнение f"(x) = 0 имеет два корня: x₁ = 1 и x₂ = -4.

3. Мы должны определить, как меняется знак производной в каждом из трех интервалов:

a) (-∞, -4)
b) (-4, 1)
c) (1, +∞)

Для этого мы можем выбрать любую точку в каждом интервале и проверить значение производной f"(x) в этой точке.

a) Для интервала (-∞, -4), возьмем значение x = -5:

f"(-5) = (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6

Таким образом, в интервале (-∞, -4) производная f"(x) положительна.

b) Для интервала (-4, 1), возьмем значение x = 0:

f"(0) = (0)^2 + 3(0) - 4 = 0 - 4 = -4

Таким образом, в интервале (-4, 1) производная f"(x) отрицательна.

c) Для интервала (1, +∞), возьмем значение x = 2:

f"(2) = (2)^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6

Таким образом, в интервале (1, +∞) производная f"(x) положительна.

4. Теперь, используя информацию о знаке производной, мы можем сделать выводы о монотонности и экстремумах функции f(x).

а) Функция f(x) возрастает, если ф-ция f"(x) > 0. Оно выполняется в интервале (-∞, -4) и (1, +∞).

б) Функция f(x) убывает, если ф-ция f"(x) < 0. Оно выполняется в интервале (-4, 1).

5. Теперь найдем точки перегиба функции f(x) путем анализа второй производной f""(x).

f""(x) = (d/dx)(x^2 + 3x - 4) = 2x + 3

Для определения точек перегиба необходимо решить уравнение f""(x) = 0:

2x + 3 = 0
2x = -3
x = -3/2

Таким образом, у функции f(x) есть одна точка перегиба при x = -3/2.

6. Итак, можно сделать следующие выводы:

а) Интервалы монотонности:
- Функция f(x) возрастает на интервалах (-∞, -4) и (1, +∞).
- Функция f(x) убывает на интервале (-4, 1).

б) Экстремумы:
- Минимум функции f(x) достигается в точке x = 1.
- Максимум функции f(x) достигается в точке x = -4.

в) Точки перегиба:
- У функции f(x) есть одна точка перегиба при x = -3/2.

Надеюсь, этот развернутый ответ дал вам ясное представление о характеристиках функции f(x) и позволил вам полностью понять, как определить интервалы монотонности и экстремумы данной функции. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь обращаться!