Какие интервалы характеризуют рост или убывание функции y = -2x^2 + 8x

Чтобы определить интервалы, на которых функция \(y = -2x^2 + 8x\) растет или убывает, мы должны проанализировать поведение ее производной. Как вы знаете, производная показывает, как изменяется функция по мере изменения \(x\).

Для начала возьмем производную функции \(y = -2x^2 + 8x\). Применим правило дифференцирования для каждого члена функции:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (-2x^2) + \frac{d}{dx} (8x)\]

По правилу дифференцирования, производная многочлена равна сумме производных его членов. После дифференцирования каждого члена, мы получим:

\[\frac{dy}{dx} = -4x + 8\]

Теперь мы можем проанализировать знак производной для определения интервалов роста и убывания функции.

Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[-4x + 8 = 0\]

Вычитаем 8 из обеих сторон и делим на -4:

\[x = \frac{8}{4} = 2\]

Это значит, что функция имеет стационарную точку при \(x = 2\).

Теперь мы можем создать таблицу знаков, чтобы определить изменение функции на разных интервалах.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Знак производной} \\
\hline
x < 2 & \frac{dy}{dx} > 0 \\
\hline
x = 2 & \frac{dy}{dx} = 0 \\
\hline
x > 2 & \frac{dy}{dx} < 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Интерпретируя таблицу, мы можем сделать следующие выводы:

- Если \(x < 2\), производная \(\frac{dy}{dx}\) положительна, что означает, что функция \(y = -2x^2 + 8x\) растет на этом интервале.
- Если \(x > 2\), производная \(\frac{dy}{dx}\) отрицательна, что означает, что функция \(y = -2x^2 + 8x\) убывает на этом интервале.
- Если \(x = 2\), производная \(\frac{dy}{dx}\) равна нулю, что указывает на стационарную точку. В данном случае, это значит, что функция достигает локального максимума или минимума при \(x = 2\).

Таким образом, интервалы, характеризующие рост функции \(y = -2x^2 + 8x\), - это \(x < 2\). Интервалы, характеризующие убывание функции, - это \(x > 2\). И функция достигает локального экстремума при \(x = 2\).