Какие два элемента являются средними в разложении (a^3+ab)^21?

Давайте разберемся в этой задаче. У нас есть выражение \((a^3 + ab)^{21}\), и нам нужно найти два средних элемента в его разложении.

Для начала, давайте посмотрим на основную идею разложения этого бинома.

В общем случае, бином Ньютона дает нам формулу для разложения выражения \((a+b)^n\) до \(n\)-го степени:

\[(a+b)^n = C_0 a^n b^0 + C_1 a^{n-1} b^1 + C_2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n a^0 b^n\]

где \(C_k\) - это биномиальные коэффициенты, которые определяются формулой:

\[C_k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Теперь мы можем подставить значение нашего выражения \((a^3 + ab)\) вместо \(a\) и \(b\), и нам нужно найти два средних элемента в получившемся разложении.

Подставляя \(a^3\) вместо \(a\) и \(ab\) вместо \(b\), мы получаем:

\[(a^3 + ab)^{21} = C_0 (a^3)^{21} (ab)^0 + C_1 (a^3)^{20} (ab)^1 + C_2 (a^3)^{19} (ab)^2 + ... + C_{21} (a^3)^0 (ab)^{21}\]

Мы видим, что у каждого элемента в разложении степень исходного выражения \((a^3 + ab)\) суммируется до 21, а коэффициенты \(C_k\) определяются биномиальными коэффициентами.

Теперь, чтобы найти два средних элемента в разложении, нам нужно найти элементы с коэффициентами \(C_{10}\) и \(C_{11}\). Это будут соответственно 11-й и 12-й элементы в разложении.

Примем это во внимание, построим таблицу разложения и найдем эти два элемента:

\[
\begin{align*}
C_0 (a^3)^{21} (ab)^0 & = a^{63} \\
C_1 (a^3)^{20} (ab)^1 & = 21a^{60}b \\
C_2 (a^3)^{19} (ab)^2 & = 210a^{57}b^2 \\
& \vdots \\
C_{10} (a^3)^{11} (ab)^{10} & = 352716a^{33}b^{10} \\
C_{11} (a^3)^{10} (ab)^{11} & = 7054320a^{30}b^{11} \\
\end{align*}
\]

Таким образом, два средних элемента в разложении \((a^3 + ab)^{21}\) являются \(352716a^{33}b^{10}\) и \(7054320a^{30}b^{11}\).

Надеюсь, это решение полностью разъяснило задачу и помогло вам понять процесс разложения и найти два средних элемента. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!