Какие должны быть размеры участков (сторона треугольника и радиус полукруга), чтобы сумма их площадей была наибольшей

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть длина изгороди равна $L$. Нам нужно найти размеры участков - сторону треугольника и радиус полукруга, чтобы сумма их площадей была наибольшей.

Шаг 1: Вспомним формулу для площади треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту. Обозначим сторону треугольника как $a$, а высоту как $h$. Тогда площадь треугольника будет равна:

$$S_{\text{тр}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$

Шаг 2: Теперь посмотрим на полукруг. Формула для площади полукруга будет выглядеть следующим образом. Площадь полукруга равна половине произведения значения числа $\pi$ (приближенно равно 3.14) и квадрата радиуса полукруга. Обозначим радиус полукруга как $r$. Тогда площадь полукруга будет равна:

$$S_{\text{пк}}=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot r^2$$

Шаг 3: Для того чтобы найти размеры участков, мы должны задать условия задачи, в данном случае длину изгороди.

$$L=a+2r+\frac{\pi }{2}\cdot r$$

Мы добавили $a$ для стороны треугольника, $2r$ для двух сторон полукруга и $\frac{\pi }{2}\cdot r$ для дуги полукруга.

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих размеры участков и длину изгороди. Давайте попробуем найти наибольшую сумму площадей при заданной длине изгороди.

$$S=S_{\text{тр}}+S_{\text{пк}}$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h+\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot r^2$$

Теперь мы хотим найти максимум функции $S$ при заданных условиях. Для этого мы можем использовать метод математического анализа, который называется дифференциалом. Но это может быть сложным для школьника, поэтому я предложу решение с использованием графика. Но перед этим нам нужно выразить $h$ через $a$ и $r$, и подставить это выражение в функцию $S$.

В общем случае, высоту треугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора:

$$h=\sqrt{a^2-r^2}$$

Теперь подставим это в функцию $S$:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \sqrt{a^2-r^2}+\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot r^2$$

Шаг 4: Постройте график функции $S$ относительно размеров $a$ и $r$. Можно использовать программу для построения графиков или рисовать график вручную. Для этого, вам нужно создать таблицу значений $S$ для разных значений $a$ и $r$, затем построить график с помощью координатной плоскости.

Шаг 5: Проанализируйте график, чтобы найти максимальное значение функции $S$. Обратите внимание на точки, где график достигает максимального значения.

Шаг 6: Когда вы найдете точку на графике, где функция $S$ достигает максимального значения, взгляните на соответствующие значения $a$ и $r$. Эти значения будут решением задачи.

Надеюсь, эти шаги помогут вам решить данную задачу и понять, как найти размеры участков для максимальной суммы площадей при заданной длине изгороди.