Какие действия нужно выполнить, чтобы решить уравнение (x^2-8x+1)(x^2-8x+5)=80, с учетом переменной?

Чтобы решить данное уравнение (x^2-8x+1)(x^2-8x+5)=80, мы сначала разложим на множители левую часть уравнения. Выглядит, что мы имеем дело с квадратным трехчленом в скобках, и мы можем воспользоваться методом группировки.

1. Разложим квадратный трехчлен в скобках (x^2-8x+1) и (x^2-8x+5) по методу группировки:
(x^2-8x+1)(x^2-8x+5) = (x^2-9x+x+1)(x^2-9x+x+5) = ((x^2-9x)+(x+1))((x^2-9x)+(x+5))

2. Теперь мы получили две пары скобок, где можно вынести общий множитель.
((x^2-9x)+(x+1))((x^2-9x)+(x+5)) = (x(x-9)+1(x-9))(x(x-9)+(x+5))

3. Продолжим упрощение, вынося общий множитель из каждой пары скобок:
(x(x-9)+1(x-9))(x(x-9)+(x+5)) = (x+1)(x-9)(x+5)(x-9)

4. Теперь у нас есть произведение двух биномов, которое равно 80. Мы можем записать это в виде уравнения:
(x+1)(x-9)(x+5)(x-9) = 80

5. Чтобы найти значения переменной x, мы должны привести это уравнение к стандартному квадратному уравнению и решить его. Сначала приведем левую часть уравнения к квадратному трехчлену:
(x+1)(x-9)(x+5)(x-9) - 80 = 0

6. Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:
(x^2-8x+9)(x^2-8x-45) - 80 = 0

7. Приравняем получившееся уравнение к нулю:
(x^2-8x+9)(x^2-8x-45) - 80 = 0

8. Обратите внимание, что у нас получилось произведение двух квадратных трехчленов. Можем заметить, что первый квадратный трехчлен (x^2-8x+9) является квадратом двучлена (x-3)^2, а второй квадратный трехчлен (x^2-8x-45) можно разложить так: (x-9)(x+5)
Получаем:
(x-3)^2(x-9)(x+5) - 80 = 0

9. Раскроем скобки:
(x-3)(x-3)(x-9)(x+5) - 80 = 0

10. Упростим выражение:
(x-3)^2(x-9)(x+5) - 80 = 0

11. Мы видим квадрат трехчлена (x-3)^2. Подставим z = (x-3):
z^2(x-9)(x+5) - 80 = 0

12. Теперь у нас получилось кубическое уравнение:
z^2(z+6)(z+8) - 80 = 0

13. Приведем уравнение к стандартному кубическому уравнению:
z^3 + 14z^2 + 48z - 80 = 0

14. Это уравнение можно решить с использованием различных методов, таких как графический метод, метод подстановки или метод нахождения рациональных корней. Предлагаю воспользоваться последним методом.

15. Для начала проверим возможные рациональные корни по теореме о рациональных корнях. По теореме, корни могут быть представлены в виде p/q, где p - делитель свободного члена (-80), а q - делитель старшего коэффициента (1).
Возможные целочисленные корни: ±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±16, ±20, ±40, ±80.

16. Подставим значения из списока в уравнение z^3 + 14z^2 + 48z - 80 = 0 и проверим, найден ли рациональный корень. Методом подстановки можно выяснить, что z = -2 является корнем данного уравнения.

17. Теперь мы можем разделить исходное уравнение на (z+2), используя синтетическое деление или деление полиномов:
(z^3 + 14z^2 + 48z - 80) / (z + 2) = z^2 + 12z + 40

18. Потенциальные корни в новом квадратном уравнении z^2 + 12z + 40 = 0 можно найти, используя Квадратные Формулы или Формулы Виета. В данном случае, находим, что дискриминант D = (-12)^2 - 4*1*40 = 144 - 160 = -16.

19. Так как дискриминант отрицательный, уравнение z^2 + 12z + 40 = 0 не имеет вещественных корней. Следовательно, данное уравнение в действительных числах не имеет решений.

20. Возвращаясь к замене переменной, знаем, что z = (x-3), подставим обратно в z^2(z+6)(z+8) - 80 = 0:
(x-3)^2(x-3+6)(x-3+8) - 80 = 0

21. Упростим выражение:
(x-3)^2(x+3)(x+5) - 80 = 0

22. Раскроем скобки:
(x-3)^2(x^2+8x+15) - 80 = 0

23. Упростим выражение:
(x-3)^2(x^2+8x+15) = 80

24. Приведем уравнение к стандартному квадратному уравнению:
(x-3)^2(x^2+8x+15) = 80

25. Теперь у нас есть произведение квадрата двучлена и квадратного трехчлена, которое равно 80. Мы можем записать это в виде двух уравнений:
(x-3)^2 = 80 / (x^2+8x+15)

26. Решим первое уравнение (x-3)^2 = 80:
Для этого возведем каждую сторону уравнения в квадратный корень:
x-3 = ±√80

27. Извлекаем корень:
x-3 = ± 2√5

28. Теперь решим каждое уравнение отдельно:
x-3 = 2√5
или
x-3 = -2√5

29. Решим первое уравнение:
x = 3 + 2√5

30. Теперь решим второе уравнение:
x = 3 - 2√5

Таким образом, уравнение (x^2-8x+1)(x^2-8x+5)=80 имеет два корня: x = 3 + 2√5 и x = 3 - 2√5.