Какая скорость v должна была быть у поезда массой m=3000 т, чтобы его масса увеличилась на 1 грамм из-за релятивистских

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой, которая описывает связь изменения массы с изменением скорости в соответствии с теорией относительности Эйнштейна. Формула имеет следующий вид:

\[ \Delta m = \dfrac{m}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - m \]

Где:
\(\Delta m\) - изменение массы составляющего объекта (в нашем случае, поезда),
\(m\) - исходная масса поезда,
\(v\) - скорость поезда,
\(c\) - скорость света, \(c = 3 \times 10^8 \, м/с\).

Мы хотим найти значение скорости \(v\), при котором изменение массы составляет 1 грамм. То есть, \(\Delta m = 0.001 \, кг\). Подставим данные в формулу и решим её:

\[0.001 \, кг = \dfrac{3000 \, т}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{(3 \times 10^8)^2}}} - 3000 \, т \]

Чтобы упростить вычисления, обозначим \(\frac{v^2}{(3 \times 10^8)^2}\) как \(x\). Тогда наше уравнение примет вид:

\[0.001 \, кг = \dfrac{3000 \, т}{\sqrt{1 - x}} - 3000 \, т \]

Теперь избавимся от знаменателя, возведя обе части уравнения в квадрат:

\[(0.001 \, кг + 3000 \, т)^2 = (3000 \, т)^2 (1 - x) \]

Распространяя скобки, получим:

\[0.001^2 \, кг^2 + 2 \cdot 0.001 \, кг \cdot 3000 \, т + (3000 \, т)^2 = (3000 \, т)^2 - (3000 \, т)^2 \cdot x \]

Упростим уравнение:

\[0.001^2 \, кг^2 + 2 \cdot 0.001 \, кг \cdot 3000 \, т = - (3000 \, т)^2 \cdot x \]

Получим:

\[x = -\dfrac{0.001^2 \, кг^2 + 2 \cdot 0.001 \, кг \cdot 3000 \, т}{(3000 \, т)^2}\]

Вычислим значение \(x\):

\[x \approx -2.22 \times 10^{-19} \, \dfrac{кг^2}{т^2}\]

Если мы теперь подставим \(x\) в уравнение, мы сможем вычислить скорость \(v\):

\[v = \sqrt{x} \cdot c \]

\[v = \sqrt{-2.22 \times 10^{-19}} \cdot 3 \times 10^8 \, м/с\]

\[v \approx 3 \times 10^{-5} \, м/с\]

Таким образом, чтобы масса поезда увеличилась на 1 грамм из-за релятивистских эффектов, скорость поезда должна быть примерно равной \(3 \times 10^{-5} \, м/с\).