Какая скорость у более легкого шара после столкновения?

Для решения данной задачи, когда два объекта сталкиваются и происходит обмен импульсом, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Пусть шары имеют массы \(m_1\) и \(m_2\) соответственно, а их начальные скорости до столкновения равны \(v_{1i}\) и \(v_{2i}\). При столкновении, шары обмениваются импульсом, и скорости шаров после столкновения будут обозначены как \(v_{1f}\) и \(v_{2f}\).

Применяя закон сохранения импульса, получим:
\[m_{1} \cdot v_{1i} + m_{2} \cdot v_{2i} = m_{1} \cdot v_{1f} + m_{2} \cdot v_{2f}\]

Согласно закону сохранения энергии, всю кинетическую энергию, которую имели шары перед столкновением, можно записать следующим образом:

\[\frac{1}{2} m_{1} \cdot (v_{1i})^2 + \frac{1}{2} m_{2} \cdot (v_{2i})^2 = \frac{1}{2} m_{1} \cdot (v_{1f})^2 + \frac{1}{2} m_{2} \cdot (v_{2f})^2\]

Ваша задача - найти \(v_{2f}\), скорость более легкого шара после столкновения.

Для решения этой задачи, мы используем метод подстановки. Давайте предположим, что масса шара 2 меньше массы шара 1 (\(m_{1} > m_{2}\)). Теперь разрешим уравнения относительно \(v_{1f}\) и \(v_{2f}\).

1. По закону сохранения импульса:
\[m_{1} \cdot v_{1i} + m_{2} \cdot v_{2i} = m_{1} \cdot v_{1f} + m_{2} \cdot v_{2f}\]
\[v_{1i} = v_{1f} + v_{2f}\]

2. По закону сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} m_{1} \cdot (v_{1i})^2 + \frac{1}{2} m_{2} \cdot (v_{2i})^2 = \frac{1}{2} m_{1} \cdot (v_{1f})^2 + \frac{1}{2} m_{2} \cdot (v_{2f})^2\]
\[\frac{1}{2} m_{1} \cdot ((v_{1f} + v_{2f}))^2 + \frac{1}{2} m_{2} \cdot (v_{2i})^2 = \frac{1}{2} m_{1} \cdot (v_{1f})^2 + \frac{1}{2} m_{2} \cdot (v_{2f})^2\]
\[(v_{1f} + v_{2f})^2 + \frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2 = (v_{1f})^2 + \frac{1}{m_{2}} \cdot (v_{2f})^2\]

Теперь, подставим \(v_{2f} = x \cdot v_{1f}\) в уравнение №1, чтобы избавиться от \(v_{2f}\).
\[v_{1i} = v_{1f} + x \cdot v_{1f}\]
\[x = \frac{v_{1i} - v_{1f}}{v_{1f}}\]

Используя уравнение №2 и значение \(x\), найдём \(v_{1f}\):
\[(v_{1f} + x \cdot v_{1f})^2 + \frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2 = (v_{1f})^2 + \frac{1}{m_{2}} \cdot (x \cdot v_{1f})^2\]
\[v_{1f}^2 + 2 \cdot x \cdot v_{1f}^2 + (x \cdot v_{1f})^2 + \frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2 = v_{1f}^2 + \frac{1}{m_{2}} \cdot (x \cdot v_{1f})^2\]
\[2 \cdot x \cdot v_{1f}^2 + (x \cdot v_{1f})^2 + \frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2 = \frac{1}{m_{2}} \cdot (x \cdot v_{1f})^2\]
\[2 \cdot x \cdot v_{1f}^2 + x^2 \cdot v_{1f}^2 + \frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2 = \frac{1}{m_{2}} \cdot x^2 \cdot v_{1f}^2\]
\[v_{1f}^2 \cdot (2 \cdot x + x^2) + \frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2 = \frac{1}{m_{2}} \cdot x^2 \cdot v_{1f}^2\]
\[v_{1f}^2 \cdot (2 \cdot x + x^2 - \frac{1}{m_{2}} \cdot x^2) = \frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2\]
\[v_{1f}^2 \cdot (2 \cdot x + x^2(1 - \frac{1}{m_{2}})) = \frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2\]
\[v_{1f}^2 = \frac{\frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2}{2 \cdot x + x^2(1 - \frac{1}{m_{2}})}\]
\[v_{1f} = \sqrt{\frac{\frac{1}{m_{1}} \cdot (v_{2i})^2}{2 \cdot x + x^2(1 - \frac{1}{m_{2}})}}\]

Теперь, найдём \(v_{2f}\), используя \(v_{1f}\) и значение \(x\):
\[v_{2f} = x \cdot v_{1f}\]

Это позволит нам найти скорость более легкого шара после столкновения.