Какая скорость необходима, чтобы пуля пробила незакрепленную доску, если она пробивает закрепленную доску

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы сохранения энергии.

В данном случае, мы можем применить Закон сохранения полной механической энергии, который гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.

Изначально пуля находится в покое, поэтому ее кинетическая энергия равна нулю. Доска также находится в покое, поэтому ее потенциальная энергия равна нулю.

Когда пуля попадает в доску, она приобретает скорость и кинетическую энергию. Однако, для пробивания незакрепленной доски, пуля должна преодолеть работу, которую совершает груз доски при ее пробивании.

Работа, совершаемая грузом доски при пробивании ее пулей, выражается формулой:

\[W = F \cdot d\]

где W - работа, F - сила, с которой пуля действует на доску, а d - расстояние, на которое пуля проникает в доску.

Сила F, действующая на доску со стороны пули, равна изменению импульса, то есть:

\[F = \frac{{dp}}{{dt}}\]

где p - импульс пули, t - время, за которое пуля изменяет импульс.

Импульс пули может быть выражен как:

\[p = m \cdot v\]

где m - масса пули, v - скорость пули.

Теперь мы можем записать формулу для работы:

\[W = \left(\frac{{dp}}{{dt}}\right) \cdot d\]

Поскольку пуля попадает в центр доски, она должна пройти половину ее толщины, то есть \(d = \frac{{h}}{{2}}\), где h - толщина доски.

Имея все необходимые формулы, мы можем приступить к решению задачи.

Пусть минимальная скорость для пробивания закрепленной доски составляет \(v_0\). Тогда, для пробивания незакрепленной доски, пуля должна приобрести скорость большую, чем \(v_0\).

Подставляя формулы в выражение для работы, получаем:

\[W = \left(\frac{{dp}}{{dt}}\right) \cdot \frac{{h}}{{2}}\]

Замечаем, что \(\frac{{dp}}{{dt}}\) - это изменение импульса пули в единицу времени, которое можно записать как массу пули, умноженную на ускорение пули: \(\frac{{dp}}{{dt}} = m \cdot a\).

Теперь можем выразить работу:

\[W = (m \cdot a) \cdot \frac{{h}}{{2}}\]

Используя Второй закон Ньютона, \(F = m \cdot a\), можем переписать формулу для работы:

\[W = (F \cdot a) \cdot \frac{{h}}{{2}}\]

Так как сила F - это изменение импульса, то для незакрепленной доски имеем:

\[F = \frac{{dp}}{{dt}} = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}}\]

Тогда формула для работы примет вид:

\[W = \left(m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} \cdot a\right) \cdot \frac{{h}}{{2}}\]

Мы также можем записать, что работа, совершаемая пулей при пробитии доски, должна быть равна изменению кинетической энергии пули:

\[W = \Delta KE\]

Изначально пуля находится в покое, поэтому ее кинетическая энергия равна нулю. После пробивания доски, пуля получает скорость v, и ее кинетическая энергия равна:

\[KE = \frac{{1}}{{2}} \cdot m \cdot v^2\]

Теперь мы можем записать уравнение для работы:

\[\frac{{1}}{{2}} \cdot m \cdot v^2 = \left(m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} \cdot a\right) \cdot \frac{{h}}{{2}}\]

Раскрывая скобки и сокращая массу пули, получаем:

\[\frac{{1}}{{2}} \cdot v^2 = \frac{{dv}}{{dt}} \cdot a \cdot \frac{{h}}{{2}}\]

Теперь мы можем решить это дифференциальное уравнение.

Интегрируем обе стороны по переменным t и v:

\[\int_{0}^{t} \frac{{1}}{{2}} \cdot v^2 \, dt = \int_{0}^{v} a \cdot \frac{{h}}{{2}} \, dv\]

\[\frac{{1}}{{2}} \int_{0}^{t} v^2 \, dt = \frac{{a \cdot h}}{{2}} \int_{0}^{v} 1 \, dv\]

\[\frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{v^3}}{{3}} \bigg|_{0}^{t} = \frac{{a \cdot h}}{{2}} \cdot v \bigg|_{0}^{v}\]

\[\frac{{1}}{{6}} \cdot v^3 = \frac{{a \cdot h}}{{2}} \cdot v\]

Теперь выражаем ускорение a:

\[a = \frac{{v^2}}{{3 \cdot h}}\]

Так как пуля должна пробить незакрепленную доску, то ее скорость v должна быть больше минимальной скорости для пробивания закрепленной доски \(v_0\).

Таким образом, в результате пошагового анализа задачи, мы получили, что для пробивания незакрепленной доски необходима скорость пули \(v > v_0\), где \(v_0\) - минимальная скорость для пробивания закрепленной доски. Ускорение пули при пробивании доски определяется как \(a = \frac{{v^2}}{{3 \cdot h}}\).