Какая работа газа выполнена при изотермическом и адиабатическом процессах, если масса водорода составляет 20 г

Для решения данной задачи, нам понадобится знание законов идеального газа, а именно закона Бойля-Мариотта. Данный закон утверждает, что при изотермическом изменении объема идеального газа, произведение его давления и объема постоянно. Также, для адиабатического изменения объема идеального газа, справедлива формула \(PV^\gamma = \text{const}\), где \(P\) – давление, \(V\) – объем, \(\gamma\) – показатель адиабаты.

Для начала, найдем давление идеального газа до и после процессов. По условию, газ сжимается от объема \(v_1\) до объема \(v_2 = \frac{v_1}{2}\). При этом, объем меняется в 2 раза, а значит, давление соответственно увеличивается в 2 раза.

Перейдем к расчетам. Из закона Бойля-Мариотта следует:

\(P_1 \cdot v_1 = P_2 \cdot v_2\),

где \(P_1\) и \(P_2\) - давления до и после процесса соответственно.

Из условия задачи известно, что объем газа сокращается в 2 раза, значит \(v_2 = \frac{v_1}{2}\). Подставим это значение в формулу и продолжим вычисления:

\(P_1 \cdot v_1 = P_2 \cdot \frac{v_1}{2}\).

Отсюда можно найти выражение для \(P_2\):

\(P_2 = 2 \cdot P_1\).

Теперь рассмотрим изотермический процесс. Из закона Гей-Люссака для изотермического процесса известно, что отношение давления и объема газа постоянно. Значит, отношение \(P_1\) и \(P_2\) также будет постоянно:

\(\frac{P_2}{P_1} = \frac{v_1}{v_2}\).

Подставим найденное значение для \(P_2\) и упростим выражение:

\(\frac{2 \cdot P_1}{P_1} = \frac{v_1}{v_2}\).

Сократим \(P_1\):

\(2 = \frac{v_1}{v_2}\).

Теперь найдем работу газа при изотермическом процессе. Работа газа вычисляется по формуле:

\[W = P_1 \cdot v_1 \cdot \ln{\frac{v_1}{v_2}}.\]

Подставим известные значения и продолжим вычисления:

\[W = P_1 \cdot v_1 \cdot \ln{\frac{v_1}{\frac{v_1}{2}}}.\]

Воспользуемся свойствами логарифма:

\[W = P_1 \cdot v_1 \cdot \ln{2}.\]

Теперь у нас есть выражение для работы газа при изотермическом процессе.

Перейдем к адиабатическому процессу. Известно, что \(PV^\gamma = \text{const}\). Подставим известные значения:

\(P_2 \cdot v_2^\gamma = P_1 \cdot v_1^\gamma\).

Заменим \(P_2\) на \(2 \cdot P_1\), а \(v_2\) на \(\frac{v_1}{2}\):

\(2 \cdot P_1 \cdot \left(\frac{v_1}{2}\right)^\gamma = P_1 \cdot v_1^\gamma\).

Сократим \(P_1\):

\(2 \cdot \left(\frac{v_1}{2}\right)^\gamma = v_1^\gamma\).

Воспользуемся свойствами степени и выразим \(2\) в виде \(2^\gamma\):

\(\left(\frac{v_1}{2}\right)^\gamma = \left(2^\gamma\right)^{-1} \cdot v_1^\gamma\).

Упростим выражение:

\(\left(\frac{v_1}{2}\right)^\gamma = \frac{1}{2^\gamma} \cdot v_1^\gamma\).

Теперь мы можем найти работу газа при адиабатическом процессе. Работа газа в данном случае вычисляется по формуле:

\[W = \frac{P_1 \cdot v_1 - P_2 \cdot v_2}{\gamma - 1}.\]

Подставим известные значения и продолжим вычисления:

\[W = \frac{P_1 \cdot v_1 - 2 \cdot P_1 \cdot \left(\frac{v_1}{2}\right)}{\gamma - 1}.\]

Сократим \(P_1\):

\[W = \frac{P_1 \cdot v_1 - P_1 \cdot v_1}{\gamma - 1}.\]

Упростим выражение:

\[W = 0.\]

Таким образом, работа газа при адиабатическом процессе равна нулю.

Итак, мы рассмотрели два процесса: изотермический и адиабатический. Работа газа при изотермическом процессе равна \(P_1 \cdot v_1 \cdot \ln{2}\), а при адиабатическом процессе равна нулю.