Какая прямая возникает при пересечении плоскостей adm?

Для того чтобы найти прямую, образованную при пересечении плоскостей adm, необходимо проанализировать уравнения этих плоскостей и найти их общее уравнение.

Предположим, что у нас есть плоскости A, D и M с уравнениями: \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\), \(Dx + Ey + Fz + D_2 = 0\) и \(Mx + Ny + Pz + D_3 = 0\) соответственно.

Для начала, определим, являются ли плоскости A, D и M попарно пересекающимися, либо они параллельны друг другу.

Плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны (ранжированная тройка чисел, каждая из которых представляет коэффициенты перед переменными x, y и z соответственно в уравнении плоскости). Если нормальные векторы представляются как \(\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)\), \(\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)\) и \(\vec{n_3} = (A_3, B_3, C_3)\), тогда можно установить, являются ли они коллинеарными, вычислив векторное произведение двух из них:

\[
\vec{n_1} \times \vec{n_2} = (B_1C_2 - B_2C_1, A_2C_1 - A_1C_2, A_1B_2 - A_2B_1)
\]

\[
\vec{n_2} \times \vec{n_3} = (B_2C_3 - B_3C_2, A_3C_2 - A_2C_3, A_2B_3 - A_3B_2)
\]

\[
\vec{n_3} \times \vec{n_1} = (B_3C_1 - B_1C_3, A_1C_3 - A_3C_1, A_3B_1 - A_1B_3)
\]

Если векторные произведения равны нулю:

\[
\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \vec{0}
\]

\[
\vec{n_2} \times \vec{n_3} = \vec{0}
\]

\[
\vec{n_3} \times \vec{n_1} = \vec{0}
\]

То они коллинеарны и, следовательно, плоскости параллельны друг другу. В этом случае они не имеют пересечений и, следовательно, никакая прямая не образуется при их пересечении.

Однако, если определитель матрицы составленной из коэффициентов при переменных векторных произведений не равен нулю, тогда плоскости пересекаются в одной прямой. В этом случае можно использовать метод Крамера для решения системы уравнений из трех плоскостей, чтобы найти параметрическое уравнение прямой пересечения.

Если пересечение существует, то параметрическое уравнение прямой может быть записано в виде:

\[
x = x_0 + at
\]

\[
y = y_0 + bt
\]

\[
z = z_0 + ct
\]

где \(x_0, y_0, z_0\) - точка, принадлежащая прямой, и \(a, b, c\) - направляющие коэффициенты прямой, которые могут быть найдены с помощью метода Крамера.

Описанный выше метод может быть использован для нахождения уравнения прямой, образованной при пересечении плоскостей adm. Таким образом, прямая будет параметризована с помощью точки и направляющих коэффициентов.