Какая производная функции y=e^x^2-1/2*arcsinx в точке x0=корень2/2?

Хорошо, начнем с решения задачи. Для нахождения производной функции \(y = e^{x^2} - \frac{1}{2}\arcsin x\) в точке \(x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Шаг 1: Найдем производную сложной функции \(e^{x^2}\). Для этого нам понадобится правило дифференцирования экспоненты. Правило гласит, что производная экспоненты функции равна производной самой функции, умноженной на производную аргумента. То есть, если у нас есть функция \(f(x) = e^{g(x)}\), то ее производная будет \(f"(x) = g"(x) \cdot e^{g(x)}\).

Таким образом, производная функции \(y_1 = e^{x^2}\) будет \(y_1" = 2x \cdot e^{x^2}\).

Шаг 2: Найдем производную функции \(-\frac{1}{2}\arcsin x\). Для этого мы воспользуемся правилом дифференцирования арксинуса. Правило заключается в том, что производная арксинуса функции \(y = \arcsin x\) равна \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

Таким образом, производная функции \(y_2 = -\frac{1}{2}\arcsin x\) будет \(y_2" = -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\).

Шаг 3: Теперь найдем производную функции \(y = e^{x^2} - \frac{1}{2}\arcsin x\) в точке \(x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Для этого мы возьмем производные \(y_1"\) и \(y_2"\), и сложим их вместе.

Таким образом, производная функции \(y = e^{x^2} - \frac{1}{2}\arcsin x\) в точке \(x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) будет:

\[y" = y_1" + y_2" = 2x \cdot e^{x^2} - \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.\]

Подставляя \(x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\), мы получаем значение производной в данной точке:

\[y"(x_0) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} - \frac{1}{2\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}}.\]

Вычислим значение этого выражения:

\[y"(x_0) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2\sqrt{1-\frac{1}{2}}}.\]

Аппроксимируя это значение, получим:

\[y"(x_0) \approx 1.827.\]

Таким образом, производная функции \(y = e^{x^2} - \frac{1}{2}\arcsin x\) в точке \(x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) равна приблизительно 1.827.

Надеюсь, что этот ответ понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!