Какая последняя цифра получилась у Сережи, когда он перемножил все числа, кроме двух крайних, а у Маши и Тани последние

Давайте рассмотрим данную задачу подробнее. Пусть имеется последовательность чисел \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), где \(n\) - количество чисел в последовательности. Обозначим последнюю цифру числа \(x_i\) как \(d_i\). Задача состоит в том, чтобы найти все возможные значения последней цифры у числа, получающегося при перемножении всех чисел в последовательности, кроме двух крайних.

Для начала, поймем, как образуется последняя цифра при перемножении чисел. Когда мы перемножаем два числа, последняя цифра в результате будет зависеть только от последних цифр самих чисел. Например, если перемножить числа 23 и 45, последняя цифра в результате будет равна 5 * 3 = 15, откуда получаем последнюю цифру 5. То есть при перемножении чисел, последняя цифра результата зависит только от последних цифр самих чисел.

Теперь рассмотрим ситуацию с Машей и Таней. Пусть у Маши последняя цифра ее числа равна \(m\), а у Тани последняя цифра ее числа равна \(t\). По условию задачи, последние цифры результатов (при перемножении всех чисел, кроме двух крайних) у Маши и Тани совпали. Обозначим эту последнюю цифру как \(r\).

Итак, чтобы найти все возможные значения последней цифры у числа, получающегося при перемножении всех чисел, кроме двух крайних, нам необходимо найти все пары цифр \(m\) и \(t\), такие что \(m \times t\) имеет последнюю цифру равную \(r\).

Давайте рассмотрим все возможные комбинации цифр \(m\) и \(t\) и найдем значения \(r\).

\[
\begin{align*}
m=1, t=1 & : r=1 \\
m=1, t=2 & : r=2 \\
m=1, t=3 & : r=3 \\
m=1, t=4 & : r=4 \\
m=1, t=5 & : r=5 \\
m=1, t=6 & : r=6 \\
m=1, t=7 & : r=7 \\
m=1, t=8 & : r=8 \\
m=1, t=9 & : r=9 \\
m=2, t=1 & : r=2 \\
m=2, t=2 & : r=4 \\
m=2, t=3 & : r=6 \\
m=2, t=4 & : r=8 \\
m=2, t=5 & : r=0 \\
m=2, t=6 & : r=2 \\
m=2, t=7 & : r=4 \\
m=2, t=8 & : r=6 \\
m=2, t=9 & : r=8 \\
m=3, t=1 & : r=3 \\
m=3, t=2 & : r=6 \\
m=3, t=3 & : r=9 \\
m=3, t=4 & : r=2 \\
m=3, t=5 & : r=5 \\
m=3, t=6 & : r=8 \\
m=3, t=7 & : r=1 \\
m=3, t=8 & : r=4 \\
m=3, t=9 & : r=7 \\
m=4, t=1 & : r=4 \\
m=4, t=2 & : r=8 \\
m=4, t=3 & : r=2 \\
m=4, t=4 & : r=6 \\
m=4, t=5 & : r=0 \\
m=4, t=6 & : r=4 \\
m=4, t=7 & : r=8 \\
m=4, t=8 & : r=2 \\
m=4, t=9 & : r=6 \\
m=5, t=1 & : r=5 \\
m=5, t=2 & : r=0 \\
m=5, t=3 & : r=5 \\
m=5, t=4 & : r=0 \\
m=5, t=5 & : r=5 \\
m=5, t=6 & : r=0 \\
m=5, t=7 & : r=5 \\
m=5, t=8 & : r=0 \\
m=5, t=9 & : r=5 \\
m=6, t=1 & : r=6 \\
m=6, t=2 & : r=2 \\
m=6, t=3 & : r=8 \\
m=6, t=4 & : r=4 \\
m=6, t=5 & : r=0 \\
m=6, t=6 & : r=6 \\
m=6, t=7 & : r=2 \\
m=6, t=8 & : r=8 \\
m=6, t=9 & : r=4 \\
m=7, t=1 & : r=7 \\
m=7, t=2 & : r=4 \\
m=7, t=3 & : r=1 \\
m=7, t=4 & : r=8 \\
m=7, t=5 & : r=5 \\
m=7, t=6 & : r=2 \\
m=7, t=7 & : r=9 \\
m=7, t=8 & : r=6 \\
m=7, t=9 & : r=3 \\
m=8, t=1 & : r=8 \\
m=8, t=2 & : r=6 \\
m=8, t=3 & : r=4 \\
m=8, t=4 & : r=2 \\
m=8, t=5 & : r=0 \\
m=8, t=6 & : r=8 \\
m=8, t=7 & : r=6 \\
m=8, t=8 & : r=4 \\
m=8, t=9 & : r=2 \\
m=9, t=1 & : r=9 \\
m=9, t=2 & : r=8 \\
m=9, t=3 & : r=7 \\
m=9, t=4 & : r=6 \\
m=9, t=5 & : r=5 \\
m=9, t=6 & : r=4 \\
m=9, t=7 & : r=3 \\
m=9, t=8 & : r=2 \\
m=9, t=9 & : r=1 \\
\end{align*}
\]

Итак, получили все возможные значения последней цифры ответа \(r\) в данной задаче. Отсутствие других вариантов можно доказать, приведя перебор всех возможных пар цифр \(m\) и \(t\), что мы и сделали.

Надеюсь, этот ответ был понятен и полезен для школьника.