Какая плоскость параллельна оси ОУ и пересекает оси ОХ и ОZ в точках, расстояния между которыми равны 2 и 3 единицы?

Для начала определим параметрическое уравнение плоскости, параллельной оси ОУ и пересекающей оси ОХ и ОZ в указанных точках. Пусть точки, через которые проходит данная плоскость, имеют координаты (x₀, 0, z₀) и (x₁, 0, z₁), где расстояния между этими точками равны 2 и 3 единицы соответственно.

Рассмотрим векторное уравнение плоскости и векторы, параллельные этой плоскости. Вектор, параллельный плоскости, можно представить в виде [x, 0, z]. Тогда уравнение плоскости будет выглядеть следующим образом:

\[A(x - x₀) + C(z - z₀) = 0,\]

где A и C - коэффициенты перед переменными x и z соответственно. Обратите внимание, что коэффициент B перед переменной y равен нулю, что свидетельствует о параллельности плоскости оси ОУ.

Решим уравнение для одной из точек (x₀, 0, z₀):

\[A(x₀ - x₀) + C(z₀ - z₀) = 0.\]

Упрощая это уравнение, получим:

\[0 = 0.\]

Так как это уравнение верно для любых значений координат x₀ и z₀, выбираем A = -1 и C = 1 (оси ОХ и ОZ пересекаются в точке (1, 0, 0)). Тогда уравнение плоскости принимает вид:

\[-(x - 1) + (z - 0) = 0,\]

\[x - z = 1.\]

Теперь давайте найдем угол между этой плоскостью и плоскостью 4x - 3y - z + 2 = 0. Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя плоскостями. Формула выглядит следующим образом:

\[\cos\theta = \frac{{A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂}}{{\sqrt{{A₁² + B₁² + C₁²}} \cdot \sqrt{{A₂² + B₂² + C₂²}}}},\]

где A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ - коэффициенты перед переменными в уравнениях плоскостей.

Сравнивая уравнения плоскостей, получаем:

Плоскость 1: x - z = 1 - A₁ = 1, B₁ = 0, C₁ = -1,
Плоскость 2: 4x - 3y - z + 2 = 0 - A₂ = 4, B₂ = -3, C₂ = -1.

Подставим значения в формулу и вычислим угол:

\[\cos\theta = \frac{{1 \cdot 4 + 0 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-1)}}{{\sqrt{{1² + 0² + (-1)²}} \cdot \sqrt{{4² + (-3)² + (-1)²}}}}.\]

Упрощая, получим:

\[\cos\theta = \frac{{4 - 1}}{{\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}}}.\]

Итак, угол между этими двумя плоскостями равен:

\[\theta = \arccos{\left(\frac{{4 - 1}}{{\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}}}\right)}.\]