Какая масса тела mmin должна быть, чтобы движение доски по наклонной плоскости стало равномерным, если на наклонную

Для того чтобы движение доски по наклонной плоскости стало равномерным, необходимо, чтобы сила трения между доской и плоскостью была равна силе, которая будет приложена к доске массой \(m_{\text{in}}\).

Для начала, найдем силу трения, действующую на доску. Сила трения можно рассчитать с помощью формулы:

\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}},\]

где \(\mu\) - коэффициент трения доски о плоскость, а \(F_{\text{н}}\) - нормальная сила, действующая на доску.

Нормальную силу можно найти, разложив гравитационную силу, действующую на доску и на тело, на составляющие:

\[F_{\text{н}} = m \cdot g \cdot \cos(\alpha),\]

где \(m\) - масса доски, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(\alpha\) - угол наклона плоскости.

Теперь мы имеем выражение для силы трения:

\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha).\]

Так как движение доски должно быть равномерным, сила трения должна быть равна \(F_{\text{тр}} = m_{\text{in}} \cdot a\), где \(a\) - ускорение равномерного движения.

Подставим значение силы трения в равенство:

\[\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = m_{\text{in}} \cdot a.\]

Теперь определим ускорение \(a\). Так как на доске нет трения, ускорение равно ускорению свободного падения \(g\), умноженному на синус угла наклона плоскости:

\[a = g \cdot \sin(\alpha).\]

Подставим это значение в предыдущее равенство:

\[\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = m_{\text{in}} \cdot g \cdot \sin(\alpha).\]

Теперь можно упростить выражение, поделив обе части на \(g\):

\[\mu \cdot m \cdot \cos(\alpha) = m_{\text{in}} \cdot \sin(\alpha).\]

Осталось выразить \(m_{\text{in}}\):

\[m_{\text{in}} = \frac{{\mu \cdot m \cdot \cos(\alpha)}}{{\sin(\alpha)}}.\]

Таким образом, масса тела \(m_{\text{in}}\) должна быть равна \(\frac{{\mu \cdot m \cdot \cos(\alpha)}}{{\sin(\alpha)}}\), чтобы движение доски по наклонной плоскости стало равномерным.