Какая формула использовалась для решения квадратного неравенства x²-3x-10

Для решения квадратного неравенства \(x^2 - 3x - 10\) мы можем использовать следующий подход:

1. Перепишем квадратное неравенство в стандартной форме, где все члены находятся на одной стороне, а ноль находится на другой стороне. В данном случае это будет выглядеть так: \(x^2 - 3x - 10 \geq 0\).

2. Чтобы выяснить, когда это неравенство истинно, мы можем построить график функции \(y = x^2 - 3x - 10\) и проанализировать его.

3. Для начала, найдем вершину параболы, обозначенной функцией \(y = x^2 - 3x - 10\). Вершина параболы имеет координаты \((h, k)\), где \(h\) - это абсцисса вершины, а \(k\) - это ордината вершины. Формулы для нахождения \(h\) и \(k\) имеют вид:
\[h = -\frac{b}{2a}\]
\[k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)\]
В данном случае, у нас \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = -10\), поэтому:
\[h = -\frac{(-3)}{2(1)} = \frac{3}{2}\]
\[k = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) - 10 = -\frac{35}{4}\]

Таким образом, вершина параболы имеет координаты \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{35}{4}\right)\).

4. Зная координаты вершины параболы, мы можем определить направление ветвей параболы. В нашем случае, так как коэффициент при \(x^2\) положительный (1), ветви параболы будут открыты вверх.

5. Теперь мы можем проанализировать график функции \(y = x^2 - 3x - 10\) и определить, когда значение функции больше или равно нулю (т.е. когда выполняется неравенство \(x^2 - 3x - 10 \geq 0\)).

6. Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс (когда значение функции равно нулю), решим квадратное уравнение \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Для этого можно использовать квадратное уравнение \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = -10\), поэтому:
\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)}\]
\[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}\]
\[x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2}\]
\[x = \frac{3 \pm 7}{2}\]
Таким образом, у нас есть две точки пересечения с осью абсцисс: \(x = \frac{3 + 7}{2} = 5\) и \(x = \frac{3 - 7}{2} = -2\).

7. Теперь, когда у нас есть информация о вершине параболы, направлении ветвей и точках пересечения с осью абсцисс, мы можем проанализировать график функции и определить, когда выполняется неравенство \(x^2 - 3x - 10 \geq 0\).

На основании графика, мы видим что отрезок оси абсцисс, на котором выполнено неравенство \(x^2 - 3x - 10 \geq 0\), находится между точками пересечения -2 и 5 включительно. То есть решением данного неравенства будет интервал \([-2, 5]\).

Таким образом, формула, используемая для решения квадратного неравенства \(x^2 - 3x - 10\) - это интервал \([-2, 5]\).