Какая формула использовалась для решения квадратного неравенства x²-3x-10

Для решения квадратного неравенства $x^2-3x-10$ мы можем использовать следующий подход:

1. Перепишем квадратное неравенство в стандартной форме, где все члены находятся на одной стороне, а ноль находится на другой стороне. В данном случае это будет выглядеть так: $x^2-3x-10\ge 0$.

2. Чтобы выяснить, когда это неравенство истинно, мы можем построить график функции $y=x^2-3x-10$ и проанализировать его.

3. Для начала, найдем вершину параболы, обозначенной функцией $y=x^2-3x-10$. Вершина параболы имеет координаты $(h,k)$, где $h$ - это абсцисса вершины, а $k$ - это ордината вершины. Формулы для нахождения $h$ и $k$ имеют вид:
$$h=-\frac{b}{2a}$$
$$k=f(h)=f(-\frac{b}{2a})$$
В данном случае, у нас $a=1$, $b=-3$ и $c=-10$, поэтому:
$$h=-\frac{(-3)}{2(1)}=\frac{3}{2}$$
$$k={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-3\left(\frac{3}{2}\right)-10=-\frac{35}{4}$$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})$.

4. Зная координаты вершины параболы, мы можем определить направление ветвей параболы. В нашем случае, так как коэффициент при $x^2$ положительный (1), ветви параболы будут открыты вверх.

5. Теперь мы можем проанализировать график функции $y=x^2-3x-10$ и определить, когда значение функции больше или равно нулю (т.е. когда выполняется неравенство $x^2-3x-10\ge 0$).

6. Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс (когда значение функции равно нулю), решим квадратное уравнение $x^2-3x-10=0$. Для этого можно использовать квадратное уравнение $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. В нашем случае, $a=1$, $b=-3$ и $c=-10$, поэтому:
$$x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4(1)(-10)}}{2(1)}$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt{9+40}}{2}$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt{49}}{2}$$
$$x=\frac{3\pm 7}{2}$$
Таким образом, у нас есть две точки пересечения с осью абсцисс: $x=\frac{3+7}{2}=5$ и $x=\frac{3-7}{2}=-2$.

7. Теперь, когда у нас есть информация о вершине параболы, направлении ветвей и точках пересечения с осью абсцисс, мы можем проанализировать график функции и определить, когда выполняется неравенство $x^2-3x-10\ge 0$.

На основании графика, мы видим что отрезок оси абсцисс, на котором выполнено неравенство $x^2-3x-10\ge 0$, находится между точками пересечения -2 и 5 включительно. То есть решением данного неравенства будет интервал $[-2,5]$.

Таким образом, формула, используемая для решения квадратного неравенства $x^2-3x-10$ - это интервал $[-2,5]$.