Какая дробь увеличится на 1/2, если её числитель увеличить на 7, а знаменатель на 5, при этом знаменатель больше

Давайте разберем эту задачу пошагово.

Представим неизвестную дробь как \(\frac{a}{b}\), где \(a\) - числитель, а \(b\) - знаменатель.

Согласно условию задачи, нам нужно найти такую дробь, которая будет увеличиваться на \(\frac{1}{2}\), если мы увеличим ее числитель на 7 и знаменатель на 5.

Для начала, увеличим числитель выбранной дроби на 7: \(a + 7\). Затем, увеличим знаменатель на 5: \(b + 5\).

Итак, после увеличения числителя и знаменателя, новая дробь будет равна \(\frac{a+7}{b+5}\).

Теперь нам нужно выразить условие, что эта дробь будет увеличиваться на \(\frac{1}{2}\).

Это можно записать следующим образом: \(\frac{a+7}{b+5} + \frac{1}{2}\).

Теперь нам нужно найти значение \(a\) и \(b\), при которых полученное выражение будет истинно.

При сложении дробей с общим знаменателем, мы складываем числители и оставляем знаменатель неизменным.

Поэтому, уравнение будет выглядеть следующим образом:

\(\frac{2(a+7)}{2(b+5)} + \frac{b+5}{2(b+5)}\).

Сократим знаменатели до общего знаменателя:

\(\frac{2(a+7) + (b+5)}{2(b+5)}\).

Раскроем скобки:

\(\frac{2a + 14 + b + 5}{2(b+5)}\).

Сгруппируем подобные слагаемые:

\(\frac{2a + b + 19}{2(b+5)}\).

Теперь у нас есть выражение для новой дроби после увеличения числителя на 7 и знаменателя на 5.

Сравним это выражение с исходной дробью \(\frac{a}{b}\).

Из условия задачи у нас есть также информация, что знаменатель новой дроби должен быть больше числителя, т.е. \(b+5 > a+7\).

Вспомним, что у нас есть выражения для числителя и знаменателя новой дроби:

\(2a + b + 19\) и \(2(b+5)\).

Используя информацию из условия задачи, мы можем записать неравенство следующим образом:

\(2(b+5) > a+7\).

Раскроем скобки:

\(2b + 10 > a + 7\).

Перенесем все слагаемые с \(a\) на одну сторону неравенства, а с \(b\) на другую сторону:

\(2b - a > 7 - 10\).

Упростим:

\(2b - a > -3\).

Итак, мы получили неравенство, которое описывает условие, что знаменатель новой дроби должен быть больше числителя:

\(2b - a > -3\).

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

\(\begin{cases} 2a + b + 19 = a \\ 2b - a > -3 \end{cases}\).

Чтобы найти значения \(a\) и \(b\), решим эту систему уравнений.

Первое уравнение можно переписать в виде:

\(a + b = -19\).

Теперь, используя метод замены или метод сложения, решим систему уравнений:

\(\begin{cases} a + b = -19 \\ 2b - a > -3 \end{cases}\).

Сначала решим первое уравнение относительно \(a\):

\(a = -19 - b\).

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение:

\(2b - (-19 - b) > -3\).

Упростим:

\(2b + 19 + b > -3\).

Соберем все слагаемые вместе:

\(3b + 19 > -3\).

Перенесем все слагаемые с \(b\) на одну сторону неравенства, а константы на другую сторону:

\(3b > -3 - 19\).

Упростим:

\(3b > -22\).

Разделим обе части неравенства на 3:

\(b > -\frac{22}{3}\).

Итак, мы получили, что \(b > -\frac{22}{3}\). Заметим, что \(b\) является знаменателем дроби.

Следовательно, чтобы знаменатель был больше числителя, \(b\) должно быть больше \(-\frac{22}{3}\).

Однако, \(b\) должно быть целым числом, поскольку это знаменатель дроби. Следовательно, мы можем округлить \(-\frac{22}{3}\) до ближайшего целого числа.

Получаем \(b > -7\).

Таким образом, знаменатель \(b\) должен быть больше -7.

Теперь, чтобы найти значение \(a\), подставим \(b = -6\), например, в первое уравнение:

\(a + (-6) = -19\).

Упростим:

\(a - 6 = -19\).

Добавим 6 к обеим частям уравнения:

\(a = -19 + 6\).

Упростим:

\(a = -13\).

Итак, мы нашли, что \(a = -13\) и \(b = -6\).

Таким образом, исходная дробь, которая увеличится на \(\frac{1}{2}\), если мы увеличим ее числитель на 7 и знаменатель на 5, будет \(\frac{-13}{-6}\).