Какая должна быть сила тока в бесконечно длинном прямолинейном проводе, чтобы объёмная плотность энергии магнитного

Чтобы определить силу тока в бесконечно длинном прямолинейном проводе, необходимо использовать закон Био-Савара-Лапласа. Этот закон позволяет найти магнитное поле, создаваемое током в проводе на заданном расстоянии от него.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

где:
\(d\vec{B}\) - вектор магнитной индукции,
\(I\) - сила тока,
\(d\vec{l}\) - элементарная длина провода,
\(\vec{r}\) - радиус-вектор, направленный от элементарной длины провода до точки, где мы измеряем магнитное поле,
\(r\) - расстояние от элементарной длины провода до точки, где мы измеряем магнитное поле,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (равная приблизительно \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)).

Мы также знаем, что объёмная плотность энергии магнитного поля \(w\) определяется следующим выражением:

\[w = \frac{1}{2} \mu_0 \cdot B^2\]

где:
\(B\) - магнитная индукция.

Мы хотим найти силу тока \(I\), когда объёмная плотность энергии магнитного поля составляет \(1 \, \text{МДж/м}^3\) на расстоянии \(5 \, \text{см}\) от провода.

Для начала, найдём магнитную индукцию \(B\) при заданной объёмной плотности энергии магнитного поля:

\[1 \, \text{МДж/м}^3 = \frac{1}{2} \mu_0 \cdot B^2\]

Раскроем уравнение и решим его относительно \(B\):

\[B = \sqrt{\frac{{2 \cdot 1 \, \text{мДж/м}^3}}{{\mu_0}}}\]

Учитывая значение магнитной постоянной \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\), получим:

\[B = \sqrt{\frac{{2 \cdot 1 \, \text{мДж/м}^3}}{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}}}}\]

Теперь, используя найденное значение магнитной индукции \(B\), найдём силу тока \(I\) с помощью закона Био-Савара-Лапласа на расстоянии \(5 \, \text{см}\):

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

\[B = \int \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

\[B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \int \frac{{d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

Так как мы рассматриваем бесконечно длинный провод, поле будет иметь только направление, перпендикулярное расстоянию от провода. Поэтому, в случае бесконечного провода:

\[B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2\pi \cdot r}}\]

Подставим значение \(B\) и расстояние \(r\) в уравнение:

\[\sqrt{\frac{{2 \cdot 1 \, \text{мДж/м}^3}}{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}}}} = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А} \cdot I}}{{2\pi \cdot 0.05 \, \text{м}}}\]

Решим это уравнение для \(I\):

\[I = \frac{{\sqrt{\frac{{2 \cdot 1 \, \text{мДж/м}^3}}{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}}}} \cdot 2\pi \cdot 0.05 \, \text{м}}}{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}}}\]

После подстановки и упрощения получим ответ:

\[I \approx 159.15 \, \text{А}\]

Следовательно, сила тока в бесконечно длинном прямолинейном проводе, чтобы объёмная плотность энергии магнитного поля на расстоянии \(5 \, \text{см}\) от провода составляла \(1 \, \text{МДж/м}^3\), равна примерно \(159.15 \, \text{А}\).