Какая должна быть минимальная высота, с которой тело должно начать скользить вниз по наклонному желобу, чтобы описать

Чтобы найти минимальную высоту, с которой тело должно начать скользить, чтобы описать "мертвую петлю" радиусом 2 м, мы можем использовать закон сохранения энергии.

Первым шагом определим условия, при которых тело описывает "мертвую петлю". В верхней точке петли сила натяжения \(T\) равна центробежной силе \(F_c\) и направлена вниз, а также вертикальная компонента силы тяжести \(mg\). В этой точке радиальное ускорение равно нулю, поэтому сумма этих сил будет равна нулю:

\[T - mg = 0\]

Силу натяжения \(T\) можно разложить на составляющие: горизонтальную \(T_x\) и вертикальную \(T_y\) компоненты. Горизонтальная составляющая не оказывает влияния на радиус пути тела и, следовательно, не интересует нас. Вертикальная составляющая силы натяжения \(T_y\) должна быть равна центробежной силе \(F_c\):

\[T_y = F_c\]

Центробежная сила \(F_c\) связана с ускорением и радиусом движения \(R\) следующим образом:

\[F_c = \frac{mv^2}{R}\]

Где \(m\) - масса тела, а \(v\) - скорость тела в самой низкой точке петли. Также, учитывая, что \(F_c = T_y\), получим:

\[T_y = \frac{mv^2}{R}\]

Поскольку мы хотим, чтобы тело не отрывалось от желоба в верхней точке, вертикальная составляющая силы тяжести \(mg\) должна быть больше или равна силе натяжения \(T_y\):

\[mg \geq \frac{mv^2}{R}\]

Отсюда можно выразить скорость \(v\) в самой низкой точке петли:

\[v=\sqrt{gR}\]

Теперь мы можем использовать закон сохранения энергии, чтобы определить минимальную высоту, с которой тело должно начать скользить. Будем считать, что потенциальная энергия при максимальной высоте равна нулю. Поэтому, при движении вниз до некоторой высоты \(h\) потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию:

\[mg \cdot h = \frac{1}{2}mv^2\]

Подставим значение скорости \(v\) и упростим уравнение:

\[mg \cdot h = \frac{1}{2}m(gR)\]

Масса тела \(m\) сокращается, и остается:

\[h = \frac{1}{2}R\]

Таким образом, минимальная высота, с которой тело должно начать скользить вниз по наклонному желобу, чтобы описать "мертвую петлю" радиусом 2 м, не отрываясь от желоба в верхней точке, равна 1 метру.