Какая должна быть минимальная угловая скорость вращения сосуда, чтобы маленький шарик, который находится на дне сосуда

Для решения данной задачи нам понадобятся законы сохранения энергии и момента импульса.

1. Определим высоту \(h\) усеченного конуса. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом дна \(R\), половиной высоты \(h/2\) и наклонной стороной \(R\) конуса:
\[\cos(a) = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (h/2)^2}}\]
\[h = 2R\sin(a)\]

2. Затем определим потенциальную энергию шарика на дне сосуда, используя высоту \(h\):
\[E_{\text{пот}} = mgh\]

3. Теперь проделаем несколько рассуждений по поводу момента импульса. Поскольку трение шарика о стенки сосуда не учитывается, момент импульса шарика вокруг оси вращения остается постоянным. В начальный момент шарик находится на дне сосуда, поэтому его угловая скорость равна нулю. Когда шарик будет выброшен из сосуда, его угловая скорость будет отличной от нуля.

4. Используя закон сохранения момента импульса, получим:
\[mRv = I\omega\]
где \(v\) - линейная скорость движения шарика, \(I\) - момент инерции шарика относительно вертикальной оси вращения, \(\omega\) - угловая скорость сосуда.

5. Момент инерции шарика относительно выбранной оси равен \(2/5\) массы шарика \(m\) умноженной на квадрат радиуса шарика \(r\):
\[I = \frac{2}{5}mr^2\]

6. Зная, что линейная скорость \(v\) связана с угловой скоростью \(\omega\) радиусом шарика \(r\) следующим соотношением:
\[v = \omega r\]

7. Подставим выражения в уравнение сохранения момента импульса, получим:
\[mR\omega r = \frac{2}{5}mr^2\omega\]
Отсюда угловая скорость сосуда \(\omega\) равна:
\[\omega = \frac{5R}{2r}\]

8. Чтобы определить минимальную угловую скорость вращения сосуда, при которой шарик будет выброшен из него, нужно найти такую угловую скорость, при которой потенциальная энергия шарика равна нулю:
\[E_{\text{пот}} = mgh = 0\]
\[mg(2R\sin(a)) = 0\]
\[\sin(a) = 0\]
\[a = 0\]

9. Итак, получили, что \(\sin(a) = 0\) при \(a = 0\). То есть, минимальный угол наклона стенок сосуда для выбрасывания шарика равен 0°.

10. Теперь можем подставить значения \(R = 0.1\) м и \(a = 0\) в формулу для угловой скорости:
\[\omega = \frac{5 \cdot 0.1}{2 \cdot r}\]
\[\omega = \frac{0.5}{r}\]

Таким образом, минимальная угловая скорость вращения сосуда, чтобы маленький шарик был выброшен из него, равна \(\omega = \frac{0.5}{r}\) рад/с, где \(r\) - радиус шарика. Пожалуйста, укажите значение радиуса шарика, чтобы я мог уточнить ответ.