Какая длина хорды AB на окружности радиусом √2 см, если дуга AB равна 270°?

Хорда AB на окружности имеет длину, равную произведению радиуса окружности на значение синуса половины центрального угла, образованного этой хордой. Давайте рассмотрим решение данной задачи.

У нас дана окружность с радиусом \(\sqrt{2}\) см и дуга AB, которая равна 270°. Чтобы найти длину хорды AB, нам нужно найти синус половины центрального угла, образованного этой хордой.

Половина центрального угла равна половине угла AB, то есть \(270°/2 = 135°\). Далее, мы можем найти синус этого угла, используя соответствующие значения тригонометрических функций.

Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку наша дуга соответствует углу 135° и радиус окружности составляет \(\sqrt{2}\) см, мы можем использовать эту информацию для построения прямоугольного треугольника.

Гипотенузой треугольника будет радиус окружности, а противолежащий катет - половина хорды AB. Тогда мы можем записать следующее:

\[\sin(135°) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]
\[\sin(135°) = \frac{{\frac{{\text{{длина хорды AB}}}}{2}}}{{\sqrt{2}}}\]

Теперь мы можем найти противолежащий катет:

\[\frac{{\frac{{\text{{длина хорды AB}}}}{2}}}{{\sqrt{2}}} = \sin(135°)\]

Мы знаем, что \(\sin(135°) = \frac{{\sqrt{2}}}{2}\), поэтому можем переписать уравнение:

\[\frac{{\frac{{\text{{длина хорды AB}}}}{2}}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{\sqrt{2}}}{2}\]

Теперь мы можем решить это уравнение, умножив обе его части на 2 и \(\sqrt{2}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[\frac{{\text{{длина хорды AB}}}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2}\]
\[\frac{{\text{{длина хорды AB}}}}{2} = 1\]

Домножив обе части на 2, получим:

\[\text{{длина хорды AB}} = 2\]

Таким образом, длина хорды AB на окружности радиусом \(\sqrt{2}\) см, если дуга AB равна 270°, составляет 2 см.