Как можно доказать, что длины отрезков aa1 и bb1 равны между собой, если на рисунке 117 o и o1 являются центрами

Для доказательства равенства длин отрезков $a{a}_1$ и $b{b}_1$ при условии, что точки $o$ и $o_1$ являются центрами окружностей, а $a{a}_1$ и $b{b}_1$ - касательными к этим окружностям, мы можем использовать свойства касательных к окружностям.

Шаг 1: Построение
На рисунке даны окружности с центрами в точках $o$ и $o_1$, а также касательные $a{a}_1$ и $b{b}_1$, которые проведены из точки касания окружности и касательной.

Шаг 2: Рассмотрение свойств касательных
Из геометрии мы знаем, что касательная к окружности, проведенная из точки касания, является перпендикуляром радиуса, проходящего через эту точку. Иными словами, радиус, проведенный к точке касания, будет перпендикулярен касательной.

Шаг 3: Взаимное положение отрезков
Учитывая свойства касательных и радиусов окружностей, можно сделать вывод о том, что радиусы окружностей, проведенные к точкам касания на касательных $a{a}_1$ и $b{b}_1$, будут перпендикулярны этим касательным. Таким образом, отрезки $oa$ и $o{a}_1$ являются радиусами окружностей и перпендикулярны касательным $a{a}_1$ и $b{b}_1$ соответственно.

Шаг 4: Равенство радиусов
Так как $oa$ и $o{a}_1$ являются радиусами окружностей, то они имеют одинаковую длину, обозначим ее как $r$. Аналогично, длина отрезка $ob$ равна $r$, поскольку он является радиусом той же окружности, что и $oa$.

Шаг 5: Равенство сторон
Теперь мы можем утверждать, что отрезки $oa$ и $o{a}_1$ имеют одинаковую длину $r$, и отрезки $ob$ и $o{b}_1$ также имеют одинаковую длину $r$, так как они являются радиусами одной и той же окружности. Следовательно, отрезки $a{a}_1$ и $b{b}_1$ имеют равные длины и равны $r$.

Таким образом, мы доказали, что длины отрезков $a{a}_1$ и $b{b}_1$ равны между собой при данных условиях.