Как можно доказать, что длины отрезков aa1 и bb1 равны между собой, если на рисунке 117 o и o1 являются центрами

Для доказательства равенства длин отрезков \(aa_1\) и \(bb_1\) при условии, что точки \(o\) и \(o_1\) являются центрами окружностей, а \(aa_1\) и \(bb_1\) - касательными к этим окружностям, мы можем использовать свойства касательных к окружностям.

Шаг 1: Построение
На рисунке даны окружности с центрами в точках \(o\) и \(o_1\), а также касательные \(aa_1\) и \(bb_1\), которые проведены из точки касания окружности и касательной.

Шаг 2: Рассмотрение свойств касательных
Из геометрии мы знаем, что касательная к окружности, проведенная из точки касания, является перпендикуляром радиуса, проходящего через эту точку. Иными словами, радиус, проведенный к точке касания, будет перпендикулярен касательной.

Шаг 3: Взаимное положение отрезков
Учитывая свойства касательных и радиусов окружностей, можно сделать вывод о том, что радиусы окружностей, проведенные к точкам касания на касательных \(aa_1\) и \(bb_1\), будут перпендикулярны этим касательным. Таким образом, отрезки \(oa\) и \(oa_1\) являются радиусами окружностей и перпендикулярны касательным \(aa_1\) и \(bb_1\) соответственно.

Шаг 4: Равенство радиусов
Так как \(oa\) и \(oa_1\) являются радиусами окружностей, то они имеют одинаковую длину, обозначим ее как \(r\). Аналогично, длина отрезка \(ob\) равна \(r\), поскольку он является радиусом той же окружности, что и \(oa\).

Шаг 5: Равенство сторон
Теперь мы можем утверждать, что отрезки \(oa\) и \(oa_1\) имеют одинаковую длину \(r\), и отрезки \(ob\) и \(ob_1\) также имеют одинаковую длину \(r\), так как они являются радиусами одной и той же окружности. Следовательно, отрезки \(aa_1\) и \(bb_1\) имеют равные длины и равны \(r\).

Таким образом, мы доказали, что длины отрезков \(aa_1\) и \(bb_1\) равны между собой при данных условиях.