Какая была скорость брошенного вниз шарика, если после удара о землю он поднялся на высоту 3 метра и процент потери

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения энергии. Давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем начальную потенциальную энергию шарика на высоте 3 метра перед ударом о землю. Пусть \(m\) будет массой шарика, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равное 9.8 м/с²), а \(h\) - высота падения (в данном случае 3 метра). Тогда начальная потенциальная энергия \(E_{\text{нач}}\) выражается следующим образом:

\[E_{\text{нач}} = mgh\]

Шаг 2: Найдем конечную потенциальную энергию шарика после удара о землю и подъема на высоту 3 метра. Поскольку потеря механической энергии составляет 50%, конечная потенциальная энергия \(E_{\text{кон}}\) будет равна половине начальной потенциальной энергии:

\[E_{\text{кон}} = \frac{1}{2}E_{\text{нач}}\]

Шаг 3: Находим конечную кинетическую энергию \(K_{\text{кон}}\) с помощью закона сохранения энергии. Поскольку механическая энергия сохраняется, разница между начальной и конечной потенциальной энергией должна быть равна разнице между начальной и конечной кинетической энергией:

\[E_{\text{нач}} - E_{\text{кон}} = K_{\text{кон}}\]

\[mgh - \frac{1}{2}mgh = K_{\text{кон}}\]

\[K_{\text{кон}} = \frac{1}{2}mgh\]

Шаг 4: Найдем конечную скорость \(v_{\text{кон}}\) с помощью формулы для кинетической энергии:

\[K_{\text{кон}} = \frac{1}{2}mv_{\text{кон}}^2\]

Выразим \(v_{\text{кон}}\):

\[v_{\text{кон}}^2 = \frac{2K_{\text{кон}}}{m}\]

\[v_{\text{кон}} = \sqrt{\frac{2K_{\text{кон}}}{m}}\]

Шаг 5: Найдем начальную скорость \(v_{\text{нач}}\). Поскольку шарик бросается вниз, он теряет потенциальную энергию и приобретает кинетическую энергию, что приводит к увеличению его скорости до максимальной. Таким образом, начальная и конечная скорости связаны следующим образом:

\[v_{\text{нач}} = -v_{\text{кон}}\]

Шаг 6: Подставим известные значения в выражения для конечной скорости и найдем ответ. Начальная скорость будет равна:

\[v_{\text{нач}} = -\sqrt{\frac{2K_{\text{кон}}}{m}}\]

Учтем, что потеря механической энергии составляет 50%, поэтому конечная потенциальная энергия будет равна половине начальной потенциальной энергии:

\[E_{\text{кон}} = \frac{1}{2}mgh\]

Теперь мы можем найти начальную скорость шарика, брошенного вниз, при условии, что после удара о землю он поднялся на высоту 3 метра и потеря механической энергии составляет 50%.