Какая была скорость автомобиля по грунтовой дороге, если его скорость по шоссе была на 20 км/ч выше, и он потратил

Пусть скорость автомобиля по грунтовой дороге будет \(x\) км/ч.

Тогда его скорость по шоссе будет \(x + 20\) км/ч.

Известно, что автомобиль потратил на обратный путь на 6 минут больше, чем на прямой путь.

Давайте найдем время, потраченное на прямой путь.

Формула для расчета времени: время = расстояние / скорость.

На прямой путь автомобиль проехал 21 км, поэтому время на прямой путь будет: \(t_1 = \frac{21}{x + 20}\) часов.

На обратный путь автомобиль проехал ту же дистанцию 21 км, но по другой дороге, поэтому время на обратный путь будет: \(t_2 = \frac{21}{x}\) часов.

Так как на обратный путь автомобиль потратил на 6 минут больше, чем на прямой путь, мы можем записать уравнение:

\(t_2 = t_1 + \frac{6}{60}\)

Подставляя значения времени, получаем:

\(\frac{21}{x} = \frac{21}{x + 20} + \frac{6}{60}\)

Упростим эту формулу.

Домножим обе части уравнения на \(x(x + 20)\cdot60\) для устранения знаменателей:

\(60\cdot21\cdot(x + 20) = 60\cdot21\cdot x + 6\cdot(x(x + 20))\)

Раскроем скобки и упростим:

\(1260x + 25200 = 1260x + 6x^2 + 120x\)

Упростим уравнение:

\(6x^2 + 120x - 25200 = 0\)

Разделим все коэффициенты на 6:

\(x^2 + 20x - 4200 = 0\)

Мы получили квадратное уравнение.

Решим его, используя формулу дискриминанта.

Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\)

Для нашего уравнения \(a = 1\), \(b = 20\), \(c = -4200\).

Вычислим дискриминант:

\(D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4200) = 400 + 16800 = 17200\)

Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), у нас есть два корня.

Формула для нахождения корней: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Решим это уравнение:

\[x_1 = \frac{-20 + \sqrt{17200}}{2 \cdot 1} \approx 60.74 \text{ км/ч}\]
\[x_2 = \frac{-20 - \sqrt{17200}}{2 \cdot 1} \approx -80.74 \text{ км/ч}\]

Так как скорость не может быть отрицательной, мы отбрасываем второй корень (\(x_2\)).

Итак, скорость автомобиля по грунтовой дороге составляет примерно 60.74 км/ч.