Какая была начальная скорость камня, который был запущен вертикально вверх и достиг высоты 35 метров над точкой запуска

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу свободного падения, которая выглядит следующим образом: \( h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 \), где:
- \( h \) - высота над точкой запуска
- \( v_0 \) - начальная скорость
- \( t \) - время
- \( g \) - ускорение свободного падения (10 м/с²)

У нас имеются две точки, где камень достигает высоты 35 метров над точкой запуска. Первый раз камень достигает этой высоты врмемени \( t_1 \), а второй раз врмемени \( t_2 = t_1 + 6 \) секунд.

Давайте найдем начальную скорость, используя эти данные.

1. Для первого запуска, при \( h = 35 \), \( t = t_1 \):
\[ h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 \]
Подставляем значения и решаем уравнение:
\[ 35 = v_0t_1 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t_1^2 \]

2. Для второго запуска, при \( h = 35 \), \( t = t_2 = t_1 + 6 \):
\[ h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 \]
Подставляем значения и решаем уравнение:
\[ 35 = v_0(t_1+6) + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (t_1+6)^2 \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\( v_0 \) и \( t_1 \)). Решая их систему, мы сможем найти начальную скорость.

Выполним следующие действия:

1. Раскроем скобки и упростим второе уравнение:
\[ 35 = v_0t_1 + 6v_0 + 5t_1^2 + 60t_1 + 180 \]

2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
\[ 5t_1^2 + (60+v_0)t_1 - (35-6v_0-180) = 0 \]

3. Используем квадратное уравнение для нахождения \( t_1 \):
\[ t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 5 \), \( b = 60+v_0 \), \( c = -(35-6v_0-180) \)

4. Подставим найденные значения \( t_1 \) в первое уравнение и найдем значение \( v_0 \).

Теперь решил все шаги и проведу вычисления.