Какая будет последняя цифра числа, полученного путем вычисления произведения всех чисел от 1 до 100 и удаления всех

Чтобы решить эту задачу, мы сначала вычислим произведение всех чисел от 1 до 100. Затем мы удалим все нули из этого числа и определим его последнюю цифру.

Произведение всех чисел от 1 до 100 можно выразить как \(1 \times 2 \times 3 \times ... \times 99 \times 100\). Для удобства расчета можно внести это произведение внутрь ряда следующим образом:

\[1 \times 2 \times 3 \times ... \times 99 \times 100 = \frac{1}{100} \times (1 \times 2 \times 3 \times ... \times 99 \times 100)\]

Теперь давайте разделим это произведение на простые множители, чтобы увидеть, какие простые числа входят в это произведение. Если число делится на простое число \(p\), то в разложении произведения на простые множители будет \(p\) в некоторой степени. Давайте посчитаем количество \(p\) в разложении произведения.

В данном случае, мы должны рассматривать только простые числа, отличные от 2 и 5, так как они являются множителями с нулями в конце числа. Из простых чисел, отличных от 2 и 5, в диапазоне от 1 до 100 входят: 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, и 97. Обратите внимание, что все эти числа простые и не делятся на 2 или 5.

Теперь давайте посчитаем, сколько раз каждое из этих простых чисел встречается в разложении произведения. Мы можем заметить, что каждый нечетный множитель появляется только один раз, поскольку мы перемножаем их по порядку. С другой стороны, каждый множитель, равный 10 или его кратное, встречается два раза, поскольку мы имеем \(10 = 2 \times 5\). Но мы удалили все нули, поэтому ни одно из этих чисел не участвует в конечном ответе.

Следовательно, остаются только нечетные простые числа (отличные от 5). В разложении произведения от 1 до 100, каждое простое нечетное число появляется один раз. Количество нечетных простых чисел от 1 до 100 равно 25.

Теперь определим последнюю цифру произведения без нулей. Для этого нам нужно найти остаток от деления произведения на 10. Остаток от деления является последней цифрой числа.

Поскольку в произведении присутствуют только нечетные простые числа (отличные от 2 и 5), которые появляются по одному разу, и каждое такое число является нечетным, а делится на 10 не может, то и произведение без нулей будет иметь последнюю цифру, являющуюся остатком от деления последней цифры каждого простого числа на 10.

Теперь мы знаем, что остаток от деления любого простого числа (отличного от 5) на 10 будет равен 1, 3, 7 или 9. У нас есть 25 нечетных простых чисел, поэтому у нас есть 25 цифр, которые могут быть последними цифрами. Мы не можем точно определить, какая именно цифра будет последней.

Таким образом, ответ на задачу - последняя цифра числа, полученного путем вычисления произведения всех чисел от 1 до 100 и удаления всех нулей из него, может быть 1, 3, 7 или 9.