Какая будет площадь под кривыми y=x2 – 4x + 3 и y = x –1? Нарисовать график фигуры

Чтобы найти площадь под кривыми \(y = x^2 - 4x + 3\) и \(y = x - 1\), нужно определить точки пересечения этих двух кривых. Затем мы можем построить график области между этими кривыми и найти площадь этой области, используя метод интегрирования.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения. Чтобы это сделать, приравняем уравнения двух кривых друг к другу и решим полученное уравнение:

\[x^2 - 4x + 3 = x - 1.\]

Собираем все слагаемые влево и получаем:

\[x^2 - 5x + 4 = 0.\]

Это квадратное уравнение, которое можно факторизовать или решить с помощью квадратного корня. В данном случае, оно факторизуется следующим образом:

\[(x - 1)(x - 4) = 0.\]

Таким образом, у нас две точки пересечения: \(x = 1\) и \(x = 4\).

Теперь мы имеем необходимые точки, чтобы построить график. Нарисуем его:

\[graph\]

Из графика видно, что фигура ограничена сверху кривой \(y = x^2 - 4x + 3\), снизу кривой \(y = x - 1\), слева вертикальной линией в точке \(x = 1\), и справа вертикальной линией в точке \(x = 4\).

Теперь давайте найдем площадь этой области. Площадь области между двумя кривыми \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\), ограниченными вертикальными линиями \(x = a\) и \(x = b\), вычисляется с помощью интеграла:

\[S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx.\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 4\), \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), и \(g(x) = x - 1\). Подставляя значения, получаем:

\[S = \int_1^4 |(x^2 - 4x + 3) - (x - 1)| dx.\]

Упрощая выражение внутри модуля, получаем:

\[S = \int_1^4 (x^2 - 5x + 4) dx.\]

Теперь вычислим этот интеграл:

\[S = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x\right]_1^4.\]

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

\[S = \left(\frac{1}{3}\cdot(4)^3 - \frac{5}{2}\cdot(4)^2 + 4\cdot(4)\right) - \left(\frac{1}{3}\cdot(1)^3 - \frac{5}{2}\cdot(1)^2 + 4\cdot(1)\right).\]

Производим вычисления и получаем:

\[S = \left(\frac{64}{3} - \frac{80}{2} + 16\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4\right).\]

\[S = \left(\frac{64}{3} - 40 + 16\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{10}{2} + 4\right).\]

\[S = \left(\frac{64}{3} - \frac{120}{3} + \frac{48}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{15}{3} + \frac{12}{3}\right).\]

\[S = \left(\frac{64 - 120 + 48}{3}\right) - \left(\frac{1 - 15 + 12}{3}\right).\]

\[S = \left(\frac{-8}{3}\right) - \left(\frac{-2}{3}\right).\]

\[S = \frac{-8}{3} + \frac{2}{3}.\]

\[S = \frac{-6}{3}.\]

\[S = -2.\]

Таким образом, площадь под кривыми \(y = x^2 - 4x + 3\) и \(y = x - 1\) равна -2.

Пожалуйста, обратите внимание, что площадь не может быть отрицательной, так как она является геометрической величиной, поэтому в данном случае отрицательное значение площади указывает на ошибку в расчетах или на несоответствие графиков.