Какая будет площадь под кривыми y=x2 – 4x + 3 и y = x –1? Нарисовать график фигуры

Чтобы найти площадь под кривыми $y=x^2-4x+3$ и $y=x-1$, нужно определить точки пересечения этих двух кривых. Затем мы можем построить график области между этими кривыми и найти площадь этой области, используя метод интегрирования.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения. Чтобы это сделать, приравняем уравнения двух кривых друг к другу и решим полученное уравнение:

$$x^2-4x+3=x-1.$$

Собираем все слагаемые влево и получаем:

$$x^2-5x+4=0.$$

Это квадратное уравнение, которое можно факторизовать или решить с помощью квадратного корня. В данном случае, оно факторизуется следующим образом:

$$(x-1)(x-4)=0.$$

Таким образом, у нас две точки пересечения: $x=1$ и $x=4$.

Теперь мы имеем необходимые точки, чтобы построить график. Нарисуем его:

$$graph$$

Из графика видно, что фигура ограничена сверху кривой $y=x^2-4x+3$, снизу кривой $y=x-1$, слева вертикальной линией в точке $x=1$, и справа вертикальной линией в точке $x=4$.

Теперь давайте найдем площадь этой области. Площадь области между двумя кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$, ограниченными вертикальными линиями $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью интеграла:

$$S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx.$$

В нашем случае, $a=1$, $b=4$, $f(x)=x^2-4x+3$, и $g(x)=x-1$. Подставляя значения, получаем:

$$S={\int }_1^4|(x^2-4x+3)-(x-1)|dx.$$

Упрощая выражение внутри модуля, получаем:

$$S={\int }_1^4(x^2-5x+4)dx.$$

Теперь вычислим этот интеграл:

$$S={[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+4x]}_1^4.$$

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

$$S=(\frac{1}{3}\cdot (4{)}^3-\frac{5}{2}\cdot (4{)}^2+4\cdot (4))-(\frac{1}{3}\cdot (1{)}^3-\frac{5}{2}\cdot (1{)}^2+4\cdot (1)).$$

Производим вычисления и получаем:

$$S=(\frac{64}{3}-\frac{80}{2}+16)-(\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4).$$

$$S=(\frac{64}{3}-40+16)-(\frac{1}{3}-\frac{10}{2}+4).$$

$$S=(\frac{64}{3}-\frac{120}{3}+\frac{48}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{15}{3}+\frac{12}{3}).$$

$$S=\left(\frac{64-120+48}{3}\right)-\left(\frac{1-15+12}{3}\right).$$

$$S=\left(\frac{-8}{3}\right)-\left(\frac{-2}{3}\right).$$

$$S=\frac{-8}{3}+\frac{2}{3}.$$

$$S=\frac{-6}{3}.$$

$$S=-2.$$

Таким образом, площадь под кривыми $y=x^2-4x+3$ и $y=x-1$ равна -2.

Пожалуйста, обратите внимание, что площадь не может быть отрицательной, так как она является геометрической величиной, поэтому в данном случае отрицательное значение площади указывает на ошибку в расчетах или на несоответствие графиков.