Какая будет площадь области между осью x, прямой x=3, осью y и графиком функции y=x^2-4x+5?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово:

1. Сначала нам нужно найти точки пересечения графика функции \(y = x^2 - 4x + 5\) с осями координат. Чтобы это сделать, мы должны приравнять \(y\) к нулю и решить уравнение.

Приравняем \(y = 0\):

\[0 = x^2 - 4x + 5\]

2. Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\), где уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 5\).
Подставим значения в формулу:

\[x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}}}{{2 \cdot 1}}\]

3. Упрощаем:

\[x = \frac{{4 \pm \sqrt{{16 - 20}}}}{{2}}\]
\[x = \frac{{4 \pm \sqrt{{-4}}}}{{2}}\]

4. Нам понадобится вычислить квадратный корень из отрицательного числа. Заметим, что \(\sqrt{{-1}}\) равняется \(i\), мнимой единице.

Таким образом, \(\sqrt{{-4}} = \sqrt{{4 \cdot -1}} = \sqrt{{4}} \cdot \sqrt{{-1}} = 2i\).

Теперь мы можем продолжить решение:

\[x = \frac{{4 \pm 2i}}{{2}}\]

5. Если поделить числитель и знаменатель на 2, получим:

\[x = 2 \pm i\]

6. Поэтому у нас есть две точки пересечения: \((2 + i; 0)\) и \((2 - i; 0)\).

7. Дальше нам нужно найти точку пересечения графика с прямой \(x = 3\). Так как эта прямая параллельна оси y, она будет пересекаться с графиком функции в точке \((3; f(3))\).

Подставим значение \(x = 3\) в уравнение функции:

\[f(3) = (3)^2 - 4(3) + 5\]
\[f(3) = 9 - 12 + 5\]
\[f(3) = 2\]

Таким образом, точка пересечения графика с прямой \(x = 3\) будет \((3; 2)\).

8. Мы знаем, что площадь между функцией и осями x и y можно найти с помощью определенного интеграла:

\[S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\]

где \(a\) и \(b\) - это значения x, в которых график функции пересекает осями x и y соответственно.

Наши значения \(a\) и \(b\) для этой задачи следующие:

\(a = 2 - i\),
\(b = 3\).

9. Подставим значения в наш интеграл:

\[S = \int_{2 - i}^{3} (x^2 - 4x + 5) \, dx\]

10. Проинтегрируем это выражение:

\[S = \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x\right]_{2 - i}^{3}\]

11. Заменим \(x\) на \(3\) в первом члене и подставим значения \(2 - i\) вместо \(x\) во всех членах:

\[S = \left(\frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 5(3)\right) - \left(\frac{1}{3}(2 - i)^3 - 2(2 - i)^2 + 5(2 - i)\right)\]

12. Упрощаем:

\[S = \left(\frac{27}{3} - 18 + 15\right) - \left(\frac{1}{3}(8 - 3i) - 2(4 - 4i) + 10 - 5i\right)\]
\[S = (9 - 18 + 15) - \left(\frac{8}{3} - \frac{1}{3}i - 8 + 8i + 10 - 5i\right)\]

13. Продолжаем упрощать:

\[S = (6) - \left( \frac{8}{3} - 8 + 2i + 10 - 5i\right)\]
\[S = (6) - \left(\frac{8}{3} + 2 - 8 + 10 - 5i - 2i\right)\]
\[S = (6) - \left(\frac{8}{3} + 2 - 8 + 10 - 7i\right)\]

14. Продолжая упрощать, получаем:

\[S = 6 - \left(-\frac{2}{3} - 7i\right)\]
\[S = 6 + \frac{2}{3} + 7i\]
\[S = \frac{20}{3} + 7i\]

Итак, площадь области между осью x, прямой \(x=3\), осью y и графиком функции \(y=x^2-4x+5\) равна \(\frac{20}{3} + 7i\).