Какая будет площадь области между осью x, прямой x=3, осью y и графиком функции y=x^2-4x+5?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово:

1. Сначала нам нужно найти точки пересечения графика функции $y=x^2-4x+5$ с осями координат. Чтобы это сделать, мы должны приравнять $y$ к нулю и решить уравнение.

Приравняем $y=0$:

$$0=x^2-4x+5$$

2. Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, где уравнение вида $a{x}^2+bx+c=0$.

В нашем случае: $a=1$, $b=-4$, $c=5$.
Подставим значения в формулу:

$$x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}$$

3. Упрощаем:

$$x=\frac{4\pm \sqrt{16-20}}{2}$$
$$x=\frac{4\pm \sqrt{-4}}{2}$$

4. Нам понадобится вычислить квадратный корень из отрицательного числа. Заметим, что $\sqrt{-1}$ равняется $i$, мнимой единице.

Таким образом, $\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot -1}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2i$.

Теперь мы можем продолжить решение:

$$x=\frac{4\pm 2i}{2}$$

5. Если поделить числитель и знаменатель на 2, получим:

$$x=2\pm i$$

6. Поэтому у нас есть две точки пересечения: $(2+i;0)$ и $(2-i;0)$.

7. Дальше нам нужно найти точку пересечения графика с прямой $x=3$. Так как эта прямая параллельна оси y, она будет пересекаться с графиком функции в точке $(3;f(3))$.

Подставим значение $x=3$ в уравнение функции:

$$f(3)=(3{)}^2-4(3)+5$$
$$f(3)=9-12+5$$
$$f(3)=2$$

Таким образом, точка пересечения графика с прямой $x=3$ будет $(3;2)$.

8. Мы знаем, что площадь между функцией и осями x и y можно найти с помощью определенного интеграла:

$$S={\int }_a^{b}f(x)dx$$

где $a$ и $b$ - это значения x, в которых график функции пересекает осями x и y соответственно.

Наши значения $a$ и $b$ для этой задачи следующие:

$a=2-i$,
$b=3$.

9. Подставим значения в наш интеграл:

$$S={\int }_{2-i}^3(x^2-4x+5)dx$$

10. Проинтегрируем это выражение:

$$S={[\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+5x]}_{2-i}^3$$

11. Заменим $x$ на $3$ в первом члене и подставим значения $2-i$ вместо $x$ во всех членах:

$$S=(\frac{1}{3}(3{)}^3-2(3{)}^2+5(3))-(\frac{1}{3}(2-i{)}^3-2(2-i{)}^2+5(2-i))$$

12. Упрощаем:

$$S=(\frac{27}{3}-18+15)-(\frac{1}{3}(8-3i)-2(4-4i)+10-5i)$$
$$S=(9-18+15)-(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}i-8+8i+10-5i)$$

13. Продолжаем упрощать:

$$S=(6)-(\frac{8}{3}-8+2i+10-5i)$$
$$S=(6)-(\frac{8}{3}+2-8+10-5i-2i)$$
$$S=(6)-(\frac{8}{3}+2-8+10-7i)$$

14. Продолжая упрощать, получаем:

$$S=6-(-\frac{2}{3}-7i)$$
$$S=6+\frac{2}{3}+7i$$
$$S=\frac{20}{3}+7i$$

Итак, площадь области между осью x, прямой $x=3$, осью y и графиком функции $y=x^2-4x+5$ равна $\frac{20}{3}+7i$.